Question

已知A與B是集合{1，2，3，…，100}的兩個(gè)子集，滿足：A與B的元素個(gè)數(shù)相同，且為A∩B空集。若n∈A時(shí)總有2n+2∈B，則集合A∪B的元素個(gè)數(shù)最多為(    )

A．62

B．66

C．68

D．74

Answer 1

B

先證|A∪B|≤66，只須證|A|≤33，為此只須證若A是{1，2，…，49}的任一個(gè)34元子集，則必存在n∈A，使得2n+2∈B。證明如下：
將{1，2，…，49}分成如下33個(gè)集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12個(gè)；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4個(gè)；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13個(gè)；{26}，{34}，{42}，{46}共4個(gè)。由于A是{1，2，…，49}的34元子集，從而由抽屜原理可知上述33個(gè)集合中至少有一個(gè)2元集合中的數(shù)均屬于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B。
如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，
B={2n+2|n∈A}，則A、B滿足題設(shè)且|A∪B|≤66。