Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=a-

b

4x+1

的圖象過(guò)點(diǎn)（

1

2

，

1

3

）和（1，

3

5

）．
（1）求常數(shù)a，b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（3）解不等式f（2x-3）+f（1-x）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)和函數(shù)之間的關(guān)系，建立方程即可求常數(shù)a，b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式f（2x-3）+f（1-x）＜0進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a-

b

4x+1

的圖象過(guò)點(diǎn)（

1

2

，

1

3

）和（1，

3

5

）．
∴

a- b 3 = 1 3 a- b 5 = 3 5

，解得：a=1，b=2．
（2）由f（x）=a-

b

4x+1

=1-

2

4x+1

得：f（-x）=1-

2•4x

4x+1

，
則f（x）+f（-x）=1-

2

4x+1

+1-

2•4x

4x+1

=2-

2(4x+1)

4x+1

=2-2=0，
∴f（-x）=-f（x），即f（x）為奇函數(shù)．
（3）∵f（x）=1-

2

4x+1

∵4^x+1在R上遞增，則

2

4x+1

在R上遞減
∴f（x）=1-

2

4x+1

在R上遞增．
不等式f（2x-3）+f（1-x）＜0可化為：f（2x-3）＜-f（1-x），
又∵f（x）為奇函數(shù)．
∴原不等式即f（2x-3）＜f（x-1），
根據(jù)單調(diào)性可知2x-3＜x-1，即x＜2，
∴不等式f（2x-3）+f（1-x）＜0的解為{x|x＜2}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式的求解，函數(shù)奇偶性的判斷依據(jù)不等式的解法，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．