Question

（1）已知a＞0，b＞0，比較a³+b³與a²b+ab²的大��；
（2）已知a，b，c是三個(gè)不全等的正數(shù)，求證：

b+c

a

+

a+c

b

+

a+b

c

＞6．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）將兩個(gè)式子作差變形，通過提取公因式化為完全平方與一個(gè)常數(shù)的積的形式，判斷符號(hào)，得出大小關(guān)系；
（2）利用分析法證明即可．

解答： （1）解：（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a³-a²b）+（b³-ab²）=（a+b）（a-b）²
又∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，而（a-b）²≥0．
∴（a+b）（a-b）²≥0．
故（a³+b³）-（a²b+ab²）≥0，即a³+b³≥a²b+ab²；
（2）證明：要證明：

b+c

a

+

a+c

b

+

a+b

c

＞6，
只需證明：（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）＞9，
只需證明：3+

b

a

+

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

＞9，
只需證明：

b

a

+

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

＞6，
∵

b

a

+

a

b

≥2，

c

a

+

a

c

≥2，

c

b

+

b

c

≥2，a，b，c是三個(gè)不全等的正數(shù)，
∴

b

a

+

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

＞6，
∴

b+c

a

+

a+c

b

+

a+b

c

＞6．

點(diǎn)評(píng)：用作差的方法比較兩個(gè)式子的大小，注意將差化為因式積的形式，以便于判斷符號(hào)．