【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)零點的個數(shù).
【答案】(1) ;(2)零點的個數(shù)為2.
【解析】
(1)求出導函數(shù),得出,即可得到切線方程;
(2)根據(jù)為偶函數(shù),只需討論在的零點個數(shù),結(jié)合導函數(shù)分析單調(diào)性即可討論.
解:( 1)因為,
所以,
又因為,
所以曲線在點處的切線方程為;
(2)因為為偶函數(shù),
所以要求在上零點個數(shù),
只需求在上零點個數(shù)即可.
令,得,,
所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增
列表得:
… | ||||||||||
0 | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - | 0 | … | |
1 | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | … |
由上表可以看出在()處取得極大值,在()處取得極小值,
;
.
當且時
(或,)
所以在上只有一個零點
函數(shù)零點的個數(shù)為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x).
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若曲線y=f(x)與直線y=b(b∈R)有3個交點,求實數(shù)b的取值范圍;
(3)過點P(﹣1,0)可作幾條直線與曲線y=f(x)相切?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點,橢圓過點,拋物線的頂點為原點.
求橢圓和拋物線的方程;
設(shè)點P為拋物線準線上的任意一點,過點P作拋物線的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.
設(shè)直線PA,PB的斜率分別為,,求證:為定值;
若直線AB交橢圓于C,D兩點,,分別是,的面積,試問:是否有最小值?若有,求出最小值;若沒有,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出,將冰雪這個冷項目迅速炒“熱”.北京某綜合大學計劃在一年級開設(shè)冰球課程,為了解學生對冰球運動的興趣,隨機從該校一年級學生中抽取了100人進行調(diào)查,其中女生中對冰球運動有興趣的占,而男生有10人表示對冰球運動沒有興趣額.
(1)完成列聯(lián)表,并回答能否有的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)”?
有興趣 | 沒興趣 | 合計 | |
男 | 55 | ||
女 | |||
合計 |
(2)已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學系的學生,其中3名對冰球有興趣,現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人,求至少有2人對冰球有興趣的概率.
附表:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024> | 6.635 |
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【題目】關(guān)于函數(shù)有以下三個判斷
①函數(shù)恒有兩個零點且兩個零點之積為-1;
②函數(shù)恒有兩個極值點且兩個極值點之積為-1;
③若是函數(shù)的一個極值點,則函數(shù)極小值為-1.
其中正確判斷的個數(shù)有( )
A.0個B.1個C.個D.個
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試,每位同學彼此獨立的從四所高校中選2所.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率;
(Ⅱ)若已知甲同學特別喜歡高校,他必選校,另在三校中再隨機選1所;而同學乙和丙對四所高校沒有偏愛,因此他們每人在四所高校中隨機選2所.
(。┣蠹淄瑢W選高校且乙、丙都未選高校的概率;
(ⅱ)記為甲、乙、丙三名同學中選校的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分別為,AC,,的中點,AB=BC=,AC==2.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(Ⅲ)證明:直線FG與平面BCD相交.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:的短軸長為2,傾斜角為的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,線段AB的中點為M,且點M與坐標原點O連線的斜率為.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若,P是以AB為直徑的圓上的任意一點,求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】第28屆金雞百花電影節(jié)將在福建省廈門市舉辦,近日首批影展片單揭曉,《南方車站的聚會》《春江水暖》《第一次的離別》《春潮》《抵達之謎》五部優(yōu)秀作品將在電影節(jié)進行展映.若從這五部作品中隨機選擇兩部放在展映的前兩位,則《春潮》與《抵達之謎》至少有一部被選中的概率為 _____.
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