Question

已知直線l：mx-2y+2m=0（m∈R）和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓C的離心率為

2

2

，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)形成四邊形的面積為2

2

．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)直線l經(jīng)過的定點(diǎn)為Q，過點(diǎn)Q作斜率為k的直線l′與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，M為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，線段PM長度的最大值為f（m），求f（m）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（I）直接利用離心率為

2

2

，以及連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)形成四邊形的面積為2

2

列出關(guān)于a，b，c方程，求出a，b，c即可得到橢圓方程；
（II）先求出直線所過的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用判別式大于0即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（0，m），設(shè)出點(diǎn)M，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出|PM|²的表達(dá)式，根據(jù)M為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)的限制對(duì)m分情況討論即可求出f（m）的表達(dá)式．

解答：解：（I）由離心率e=

2

2

，得b=c=

2

2

a
又因?yàn)?span id="971z5p6" class="MathJye">2ab=2

2

，所以a=

2

，b=1，即橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．（4分）
（II）由l：mx-2y+2m=0經(jīng)過定點(diǎn)Q（-2，0），則直線l′：y=k（x+2），
由 

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

有（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0．
所以△=64k⁴-8（2k²+1）（4k²-1）＞0，可化為 2k²-1＜0
解得-

2

2

＜k＜

2

2

． （8分）
（Ⅲ） 由l：mx-2y+2m=0，設(shè)x=0，則y=m，所以P（0，m）．
設(shè)M（x，y）滿足

x2

2

+y2=1，
則|PM|²=x²+（y-m）²=2-2y²+（y-m ）²=-y²-2my+m²+2=-（y+m）²+2m²+2，
因?yàn)?1≤y≤1，所以
當(dāng)|m|＞1時(shí)，|MP|的最大值f（m）=1+|m|；
當(dāng)|m|≤1時(shí)，|MP|的最大值f（m）=

2m2+2

；
所以f（m）=

1+|m|m＞1 2m2+2 |m|≤1

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與運(yùn)算能力．