已知函數(shù)f(x)=logm
1+x
1-x
(其中m＞0，m≠1)，
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明：函數(shù)f（x）具有性質(zhì)：f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)；
（3）若f(
a+b
1+ab
)=1，f(
a-b
1-ab
)=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
分析：（1）先看定義域是否關于原點對稱，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)，看f（-x）與f（x）的關系，依據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義進行判斷．
（2）先利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡等式的左邊，再化簡等式的右邊，直到左邊和右邊是同一個表達式，即可證明等式成立．
（3）利用第（2）的結(jié)論和本題中2個已知條件，得到2個關于f（a）和f（b）的方程，解出f（a）和f（b）的值．
解答：解：（1）由題意知，
1+x
1-x
＞0，∴-1＜x＜1，定義域關于原點對稱，
f（-x）=
log
1-x
1+x
m
=-
log
1+x
1-x
m
=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）∵f（x）+f（y）=
log
1+x
1-x
m
+
log
1+y
1-y
m
=
log
(1+x)(1+y)
(1-x)(1-y)
m
，
f（
x+y
1+xy
）=
log
1+
x+y
1+xy
1-
x+y
1+xy
m
=
log
1+xy+x+y
1+xy-x-y
m
=
log
(1+x)(1+y)
(1-x)(1-y)
m
，
∴f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)．
（3）∵f(
a+b
1+ab
)=1，f(
a-b
1-ab
)=2，∴f（a）+f（b）=1，
f（a）-f（b）=3，∴f（a）=2，f（b）=-1．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、對數(shù)的運算性質(zhì)和求函數(shù)值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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