Question

已知橢圓的左，右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B，曲線C是以A、B兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，焦距為的雙曲線。設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)T。
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)P、T兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，求證x_1·x₂為一定值；

（3）設(shè)與（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為與，且，求的取值范圍。

Answer 1

 解：（1）依題意可得，
雙曲線的焦距為，，
雙曲線的方程為
（2）證明：設(shè)點(diǎn)、（，），直線的斜率為（）， 則直線的方程為
聯(lián)立方程組 整理，得
解得或
同理方程組可得：
為一定值
（3）設(shè)點(diǎn)、（，）， 則，． ，，即
點(diǎn)在雙曲線上，則，
所以，即
又點(diǎn)是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以，
由（2）知，，即，設(shè)，則，
，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)，即時(shí)，
的取值范圍為