Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$的焦點為F₁，F(xiàn)₂，在長軸A₁A₂上任取一點M，過M作垂直于A₁A₂的直線交橢圓于點P，則∠F₁PF₂為鈍角的概率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 求出橢圓的a，b，c，設(shè)P（x₀，y₀），求出當(dāng)∠F₁PF₂為直角即$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，P的橫坐標(biāo)，可得為鈍角時M的范圍，由幾何概率的公式計算即可得到．

解答 解：由題意可得|A₁A₂|=2a=4，b=1，c=$\sqrt{3}$，
設(shè)P（x₀，y₀），若∠F₁PF₂為直角，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴（x₀+$\sqrt{3}$）（x₀-$\sqrt{3}$）+y₀²=0，又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，
聯(lián)合解得x₀=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
符合∠F₁PF₂為鈍角即$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0的M點在（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）之間，
∴所求概率P=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}-（-\frac{2\sqrt{6}}{3}）}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故選：D．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的焦點坐標(biāo)和幾何概型的概率求法，注意運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示．