Question

已知函數f（x）=

lnx

x

+ax+b的圖象在點A（1，f（1））處的切線與直線l：2x-4y+3=0平行．證明：函數y=f（x）在區(qū)間（1，e）上存在最大值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：證明題,導數的綜合應用

分析：由題意求導f′（x）=

1-lnx

x2

+a，從而可得f′（1）=1+a=

1

2

；從而解出a=-

1

2

；則f′（x）=

1-lnx

x2

-

1

2

=

2-2lnx-x2

2x2

；從而討論函數的單調性以確定最值．

解答： 證明：∵f（x）=

lnx

x

+ax+b，
∴f′（x）=

1-lnx

x2

+a，
又∵函數f（x）=

lnx

x

+ax+b的圖象在點A（1，f（1））處的切線與直線l：2x-4y+3=0平行，
∴f′（1）=1+a=

1

2

；
故a=-

1

2

；
故f′（x）=

1-lnx

x2

-

1

2

=

2-2lnx-x2

2x2

；
令h（x）=2-2lnx-x²；
則易知h（x）在區(qū)間[1，e]上是減函數，
且h（1）=2-1＞0，h（2）=2-2ln2-4＜0；
故存在x₀∈（1，2），使h（x₀）=0；
故當x∈[1，x₀）時，f′（x）＞0，當x∈（x₀，e]時，f′（x）＜0；
故f（x）在[1，x₀）上是增函數，在（x₀，e]上是減函數，
故函數y=f（x）在區(qū)間（1，e）上存在最大值．

點評：本題考查了導數的綜合應用及函數的最值的求法，屬于中檔題．