Question

已知圓C的圓心在直線l：x-y+1=0上，且過點(diǎn)A（1，1）和B（2，-2）；
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）線段MN的端點(diǎn)M的坐標(biāo)是（10，8），端點(diǎn)N是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且

MN

=-2

PN

，求P點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)圓心在直線x-y+1=0上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，設(shè)出圓的半徑，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入圓的方程，求解方程組即可得到待求系數(shù)，則方程可求；
（2）利用M的坐標(biāo)是（10，8），

MN

=-2

PN

，確定P，N坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求P點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：（1）因?yàn)閳A心C在直線x-y+1=0上，所以設(shè)圓C的圓心C（a，a+1），半徑為r（r＞0），
所以圓的方程為（x-a）²+（y-a-1）²=r²．
因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），B（2，-2），
所以（1-a）²+（-a）²=r²，（2-a）²+（-3-a）²=r²，
解得：a=-3，r²=25．
所以，圓C的方程為（x+3）²+（y+2）²=25；
（2）設(shè)P（x，y），N（a，b），則
因?yàn)镸的坐標(biāo)是（10，8），

MN

=-2

PN

，
所以（a-10，b-8）=-2（a-x，b-y），
所以a=

10+2x

3

，b=

8+2y

3

，
因?yàn)槎它c(diǎn)N是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，
所以（

10+2x

3

+3）²+（

8+2y

3

+2）²=25，即(x+

19

4

)2+(y+

7

2

)2=

225

4

．

點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求圓的方程，考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．