Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，側棱SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，且AD=1，SA=AB=BC=2，E，F(xiàn)分別是SC，SB的中點．
（1）求證：SB⊥平面ADEF；
（2）求面SAB與面SCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得SA⊥BC，AB⊥BC，從而BC⊥平面SAB，由此能證明SB⊥平面ADEF．
（2）以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法能求出平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值．

解答： （1）證明：∵SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
∴SA⊥BC，AB⊥BC，
∴BC⊥平面SAB，
∵E，F(xiàn)分別是SC，SB的中點，
∴EF∥BC，∴EF⊥平面SAB，
∵SB?平面SAB，∴EF⊥SB，
又SA=AB，∴AF⊥SB，
∵AF∩EF=F，∴SB⊥平面ADEF．
（2）解：以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則
A（0，0，0），B（0，2，0），
D（1，0，0，），S（0，0，2），F(xiàn)（0，1，1）．
則

AE

=（0，1，1），

SD

=（1，0，-2），

CD

=（-1，-2，0）．
設平面SCD的法向量是

n

=（x，y，z），
則

n • SD =x-2z=0 n • CD =-x-2y=0

，
令z=1，則x=2，y=-1．于是

n

=（2，-1，1）．
平面SAB的法向量為

m

=（1，0，0）．
設平面SCD與平面SAB所成的二面角為α，
則|cosα|=|

n

，

m

|=

2

6

=

6

3

，
∴平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為

6

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．