Question

函數(shù)f（x）=-x³+ax²（a∈R）．
（1）當a＞0時，求函數(shù)y=f（x）的極值；
（2）若x∈[0，1]時，函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點處的切線傾斜角為θ，求當0≤θ≤

π

4

時a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由f′（x）=-3x²+2ax，令f′（x）=0，得x=0，或x=

2

3

a．a(chǎn)＞0．利用導數(shù)與單調(diào)性的關系列出表格即可得出．
（2）當x∈[0，1]時，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax，由θ∈[0，

π

4

]，得0≤f′（x）≤1，即x∈[0，1]時，0≤-3x²+2ax≤1恒成立．對x分類討論，分離參數(shù)，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）由f′（x）=-3x²+2ax，令f′（x）=0，得x=0，或x=

2

3

a．a(chǎn)＞0．
∴當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 3 a）	2 3 a	（ 2 3 a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴y_極小值=f（0）=0．y_極大值=f(

2

3

a)=-

8

27

a³+

4

9

a³=

4

27

a3．
（2）當x∈[0，1]時，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax，由θ∈[0，

π

4

]，得0≤f′（x）≤1，
即x∈[0，1]時，0≤-3x²+2ax≤1恒成立．
當x=0時，a∈R．
當x∈（0，1]時，由-3x²+2ax≥0恒成立，可知a≥

3

2

．
由-3x²+2ax≤1恒成立，得a≤

1

2

（3x+

1

x

），∴a≤

3

（等號在x=

3

3

時取得）．
綜上：

3

2

≤a≤

3

．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、幾何意義、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論、分離參數(shù)方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．