【題目】已知函數(shù).

1)函數(shù),討論的單調(diào)性;

2)曲線在點處的切線為,是否存在這樣的點使得直線與曲線也相切,若存在,判斷滿足條件的點的個數(shù),若不存在,請說明理由.

【答案】1)見解析;(2)存在,有且只有兩個

【解析】

1)利用導(dǎo)數(shù)的運算法則得出,分,,討論單調(diào)性,分別解出的區(qū)間即可得出單調(diào)區(qū)間.

2)先求直線為函數(shù)的圖象上一點處的切線方程,再設(shè)直線的圖象也相切,切點為,進(jìn)而可得,再判斷方程在區(qū)間上有且只有兩個實數(shù)根.

1)因為:,

所以:.

所以:①當(dāng)時:上為減函數(shù),在為增函數(shù);

②當(dāng)時:上為增函數(shù),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù);

③當(dāng)時:上為增函數(shù);

④當(dāng)時:上為增函數(shù),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).

2)設(shè).

因為:,所以:.

所以直線的方程為:,即:.

假設(shè)直線的圖象也相切,切點為:.

因為,所以.

所以直線的方程也可以寫作為:.

又因為,即:.

所以直線的方程為:,即:.

由①②有:,即:.

所以.

,得:,

所以減,在.

所以

又因為當(dāng)時,;當(dāng)時,.

所以有且只有兩個實數(shù)根.

所以,存在這樣的點使得直線與函數(shù)的圖象也相切,這樣的點有且只有兩個.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C 與圓相交于M,N,P,Q四點,四邊形MNPQ為正方形,△PF1F2的周長為

1)求橢圓C的方程;

2)設(shè)直線l與橢圓C相交于A、B兩點若直線AD與直線BD的斜率之積為,證明:直線恒過定點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對于任意,都有,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某省從2021年開始,高考采用取消文理分科,實行的模式,其中的“1”表示每位學(xué)生必須從物理、歷史中選擇一個科目且只能選擇一個科目.某校高一年級有2000名學(xué)生(其中女生900人).該校為了解高一年級學(xué)生對“1”的選課情況,采用分層抽樣的方法抽取了200名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表.

性別

選擇物理

選擇歷史

總計

男生

________

50

女生

30

________

總計

________

________

200

1)求,的值;

2)請你依據(jù)該列聯(lián)表判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

附:,其中.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù))的單調(diào)遞減區(qū)間為.

I)求a的值;

II)證明:當(dāng)時,;

III)若存在,使得當(dāng)時,恒有,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式. 某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況,隨機(jī)抽取了100人,統(tǒng)計結(jié)果整理如下:

20以下

70以上

使用人數(shù)

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數(shù)

0

0

3

14

36

3

0

(Ⅰ)現(xiàn)隨機(jī)抽取 1 名顧客,試估計該顧客年齡在且未使用自由購的概率;

(Ⅱ)從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況,用表示這3人中年齡在的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)為鼓勵顧客使用自由購,該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預(yù)計有5000人購物,試估計該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),直線過原點且傾斜角為,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

1)求曲線和直線的極坐標(biāo)方程;

2)若相交于不同的兩點,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的兩焦點為,,且橢圓上一點,滿足,直線與橢圓交于、兩點,與軸、軸分別交于點、,且.

1)求橢圓的方程;

2)若,且,求的值;

3)當(dāng)△面積取得最大值,且點在橢圓上時,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)當(dāng)時,求曲線與曲線的公切線的方程;

2)設(shè)函數(shù)的兩個極值點為,求證:關(guān)于的方程有唯一解.

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