Question

已知函數(shù)其中a是實(shí)數(shù)．設(shè)，為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且．

（1）指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

（2）若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且，求的最小值;

（3）若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）[－1，0)，(0，+∞)

（2）1

（3）(－ln2－1，+∞)

【解析】（1）函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，0)，(0，+∞)．

（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)A處的切線斜率為，點(diǎn)B處的切線斜率為，

故當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切線垂直時(shí)，有．

當(dāng)x<0時(shí)，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719514054026938/SYS201411171951417902665434_DA/SYS201411171951417902665434_DA.005.png">，所以，

所以．

因此

當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)等號(hào)成立．

所以函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直時(shí)，的最小值為1．

（3）當(dāng)或時(shí)，，故．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，

即．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即．

兩切線重合的充要條件是

由（1）式及知，．

由（1）（2）式得，．

設(shè)，

則．

所以是減函數(shù)．

則．

所以．

又當(dāng)且趨近于－1時(shí)，無(wú)限增大，

所以a的取值范圍是．

故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合時(shí)，a的取值范圍是．