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【題目】如圖所示，四棱錐的底面為矩形，已知， ，過底面對角線作與平行的平面交于.

（1）試判定點的位置，并加以證明；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1) 為的中點，見解析(2)

【解析】試題分析：（1）由平面得到，結合為的中點，即可得到答案；

（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，由此利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．

試題解析：

（1）為的中點，證明如下：

連接，因為平面，平面平面， 平面，所以，又為的中點，所以為的中點.

（2）連接，因為四邊形為矩形，所以.因為，所以.同理，得，所以平面，以為原點， 為軸，過平行于的直線為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標系（如圖所示）.

易知， ， ， ， ， ，

則， .

顯然， 是平面的一個法向量.設是平面的一個法向量，

則，即，取，

則，

所以 ，

所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】已知橢圓與拋物線y2＝x有一個相同的焦點，且該橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過點P(0,1)的直線與該橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，若，求△AOB的面積．

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【題目】直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交于A，B兩點(其中a，b是實數)，且△AOB是直角三角形(O是坐標原點)，則點P(a，b)與點(0,1)之間距離的最小值為________．

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【題目】如圖，四棱錐中，底面為邊長是2的方形, ， 分別是， 的中點， ， ，且二面角的大小為.

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】某校從參加某次知識競賽測試的學生中隨機抽出60名學生，將其成績（百分制）（均為整數）分成六段，…后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：

（1）求分數在內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

（2）根據頻率分布直方圖，從圖中估計總體的眾數是多少分？中位數是多少分？

（3）統(tǒng)計方法中，同一組數據常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據此估計本次考試的平均分.

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【題目】已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．

(1)當m＝－1時，求A∪B；

(2)若AB，求實數m的取值范圍；

(3)若A∩B＝，求實數m的取值范圍．

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【題目】某研究機構為了了解各年齡層對高考改革方案的關注程度，隨機選取了200名年齡在內的市民進行了調查，并將結果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分第一～五組區(qū)間分別為，，，，，）.

（1）求選取的市民年齡在內的人數；

（2）若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進行座談，再從中選取2人在座談會中作重點發(fā)言，求作重點發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在內的概率.

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【題目】隨著網絡的發(fā)展，網上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網站為增加收入，促銷策略越來越多樣化，促銷費用也不斷增加.下表是某購物網站2017年1-8月促銷費用（萬元）和產品銷量（萬件）的具體數據.

（1）根據數據繪制的散點圖能夠看出可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數加以說明；（系數精確到0.001）

（2）建立關于的回歸方程（系數精確到0.01）；如果該公司計劃在9月份實現產品銷量超6萬件，預測至少需投入促銷費用多少萬元（結果精確到0.01）.

參考數據： ， ， ， ， ，其中， 分別為第個月的促銷費用和產品銷量， .

參考公式：（1）樣本的相關系數

（2）對于一組數據， ， ， ，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為， .

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【題目】已知f(x)是R上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝－x2＋2x＋2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)畫出f(x)的圖像，并指出f(x)的單調區(qū)間．

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