Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx的單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

3

，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-

1

3

）和（1，+∞），
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）≥k²+7k在區(qū)間[-2，2]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出f′（x）=3x²-6ax+2b，令f′（x）=0，則-

1

3

，1是方程f′（x）=0的兩個根，由題意得方程組解出即可；
（2）由（1）得：f（x）=x³-x²-x，且f（x）在[-2，-

1

3

），（1，2]遞增，在（-

1

3

，1）遞減，若不等式f（x）≥k²+7k在區(qū)間[-2，2]上恒成立，只需k²+7k≤-10即可，解出即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，
令f′（x）=0，則-

1

3

，1是方程f′（x）=0的兩個根，
∴

- 1 3 +1=2a - 1 3 = 2 3 b

，
解得：a=

1

3

，b=-

1

2

；
（2）由（1）得：f（x）=x³-x²-x，
且f（x）在[-2，-

1

3

），（1，2]遞增，在（-

1

3

，1）遞減，
又f（-2）=-10，f（1）=-1，
若不等式f（x）≥k²+7k在區(qū)間[-2，2]上恒成立，
只需k²+7k≤-10即可，
解得：-5≤k≤-2，
∴實數(shù)k的取值范圍時[-5，-2]．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．