Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n=a_n+1²+2a_n+1
（Ⅰ）求證：數(shù)列{log₂（a_n+1）}為等比數(shù)列：
（Ⅱ）設(shè)b_n=n1og₂（a_n+1），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：1≤S_n＜4．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{log₂（a_n+1）}為等比數(shù)列：
（Ⅱ）求出b_n=n1og₂（a_n+1）的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n=a_n+1²+2a_n+1，
∴a_n+1=（a_n+1+1）²，
∵a_n＞0，
∴2log₂（a_n+1+1）=log₂（a_n+1），
即log₂（a_n+1+1）=

1

2

log₂（a_n+1），
即數(shù)列{log₂（a_n+1）}是1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列：
（Ⅱ）∵數(shù)列{log₂（a_n+1）}是1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列：
∴l(xiāng)og₂（a_n+1）=(

1

2

)n-1，
設(shè)b_n=n1og₂（a_n+1）=n•(

1

2

)n-1，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，

1

2

S_n=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

．
兩式相減得

1

2

S_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2[1-（

1

2

）ⁿ]-

n

2n

，
∴S_n=4-

n+2

2n+1

＜4．
∵b_n=n•(

1

2

)n-1＞0，
∴S_n≥S₁=1，
∴1≤S_n＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列數(shù)列的判斷，以及數(shù)列求解，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵．