Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點在橢圓上，線段PF₂與y軸的交點M滿足，⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，一直線L：y=kx+m與⊙O相切，并與橢圓交于不同的兩點A，B
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)，且滿足時，求△AOB的面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由=，知OM是△PF₁F₂的中位線，由OM⊥F₁F₂，知PF₁⊥F₁F₂，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由圓O與直線l相切，知，聯(lián)立，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直線l與橢圓交于兩個不同點，得到k²＞0，由此能推導(dǎo)出△AOB的面積S的取值范圍．
解答：解：（1）∵=，
∴點M是線段PF₂的中點，
∴OM是△PF₁F₂的中位線，
又∵OM⊥F₁F₂，∴PF₁⊥F₁F₂，
∴，解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）∵圓O與直線l相切，∴，即m²=k²+1，
聯(lián)立，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓交于兩個不同點，∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，x₁•x₂=，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=
=，
=x₁x₂+y₁y₂=，
∴，
∴，
S=S_△ABO=
=
=
=，
 設(shè)u=k⁴+k²，則，S=，u∈[]，
∵S關(guān)于u在[，2]單調(diào)遞增，S（）=，S（2）=，
∴．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．