Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數(shù)．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）求證：對(duì)于任意的n∈N^*，n＞1時(shí)，都有l(wèi)nn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

成立．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；
（2）研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最小值．
（3）由（Ⅰ）知函數(shù)f(x)=

1

x

-1+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，構(gòu)造n與n-1的遞推關(guān)系，可利用疊加法求出所需結(jié)論．

解答：解：f′(x)=

ax-1

ax2

(x＞0)． （2分）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=

x-1

x2

(x＞0)．
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，
這時(shí)f（x）在[1，2]上為增函數(shù)∴f（x）_min=f（1）=0．
當(dāng)0＜a≤

1

2

，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，
這時(shí)f（x）在[1，2]上為減函數(shù)∴f(x)min=f(2)=ln2-

1

2a

．
當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，令f′（x）=0，得x=

1

a

∈(1，2)．
又∵對(duì)于x∈[1，

1

a

)有f′（x）＜0，
對(duì)于x∈(

1

a

，2]有f′（x）＞0，
∴f(x)min=f(

1

a

)=ln

1

a

+1-

1

a

，（6分）
綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為
①當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，f(x)min=ln2-

1

2a

；
②當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，f(x)min=ln

1

a

+1-

1

a

．
③當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）_min=0；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函數(shù)f(x)=

1

x

-1+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)n＞1時(shí)，∵

n

n-1

＞1，∴f(

n

n-1

)＞f(1)，
即lnn-ln(n-1)＞

1

n

，對(duì)于n∈N^*且n＞1恒成立．（10分）
lnn=[lnn-ln（n-1）]+[ln（n-1）-ln（n-2）]++[ln3-ln2]+[ln2-ln1]＞

1

n

+

1

n-1

++

1

3

+

1

2

，
∴對(duì)于n∈N^*，且n＞1時(shí)，lnn＞

1

2

+

1

3

++

1

n

恒成立．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)的綜合題，綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的最值，以及證明不等式，有一定的難度，是一道很好的壓軸題．