解:(1)由
.
當n=1時,a
1=S
1=2×5-2=8,
當n≥2時,
=8•5
n-1.
當n=1時此式成立,
所以
;
(2)由a
n+1=a
n+3n+2.
則a
n+1-a
n=3n+2,a
n-a
n-1=3n-1(n≥2).
又a
1=1,
所以a
n=(a
n-a
n-1)+(a
n-1-a
n-2)+…+(a
2-a
1)+a
1=(3n-1)+[3(n-1)-1]+[3(n-2)-1]+…+(3×2-1)+1
=3(2+3+4+…+n)-(n-1)+1=
=
;
(3)由
,且a
1=1≠0,
∴
(n≥2),
則
=
=
;
(4)由a
n+1=3a
n+2,得:a
n+1+1=3(a
n+1),
∵a
1=1,
∴a
1+1=1+1=2≠0,
則
.
所以,數(shù)列{a
n+1}是以2為首項,以3為公比的等比數(shù)列.
則
,
所以,
.
分析:(1)在遞推式中取n=1可求首項,當n≥2時,由a
n=S
n-S
n-1化簡整理可求a
n,然后驗證n=1時是否成立,若不成立,則通項公式要分寫;
(2)由給出的遞推式,采用累加法求數(shù)列的通項公式;
(3)根據(jù)給出的遞推式,可采用累積法求數(shù)列的通項公式;
(4)把給出的遞推式配方,然后構造出一個新數(shù)列{a
n+1},該數(shù)列是等比數(shù)列,求出a
n+1后即可得到a
n.
點評:本題考查了由數(shù)列的前n項和及遞推式求數(shù)列的通項公式,這是求數(shù)列通項公式常見的題型,由前n項和求通項時,一定要注意分類討論;對于遞推式是a
n+1=a
n+f(n)型的,常采用累加法求通項公式;是a
n+1=a
nf(n)型的遞推式,常采用累積法,而a
n+1=pa
n+q型的遞推式,一定是構造出一個新的等比數(shù)列.此題是中檔題.