Question

已知函數(shù)y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
（1）求它的振幅、周期和初相；
（2）用五點(diǎn)法作出它的簡(jiǎn)圖；
（3）該函數(shù)的圖象是由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到的？

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先通過(guò)恒等變換把函數(shù)變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的振幅、周期、初相．
（2）先求出常見(jiàn)的五點(diǎn)（

π

12

，0）、（

π

3

，

7

4

）、（

7π

12

，

5

4

）、（

5π

6

，

3

4

）、（

13π

12

，0）
然后在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出簡(jiǎn)圖．
（3）先由y=sinx（x∈R）的圖象的所有橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半得到y(tǒng)=sin2x的圖象，再把y=sin2x的圖象向左平移

π

12

各單位，得到y(tǒng)=sin（2x+

π

6

）的圖象，再把y=sin（2x+

π

6

）的圖象所有縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的

1

2

得到      y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的圖象，再把y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的圖象向上平移

5

4

各單位得到y=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

5

4

的圖象．

解答： 解：（1）函數(shù)y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1=

1

2

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x

2

+1=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

5

4

則：振幅A=

1

2

  周期T=

2π

2

=π 初相Φ=

π

6

（2）根據(jù)五點(diǎn)法（

π

12

，

5

4

）、（

π

3

，

7

4

）、（

7π

12

，

5

4

）、（

5π

6

，

3

4

）、（

13π

12

，

5

4

）



（3）先由y=sinx（x∈R）的圖象的所有橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半得到y(tǒng)=sin2x的圖象，再把y=sin2x的圖象向左平移

π

12

各單位，得到y(tǒng)=sin（2x+

π

6

）的圖象，再把y=sin（2x+

π

6

）的圖象所有縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的

1

2

得到y(tǒng)=

1

2

sin（2x+

π

6

）的圖象，再把y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的圖象向上平移

5

4

各單位得到y=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

5

4

的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的振幅、周期、初相，用五點(diǎn)法做三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換．