Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC⊥底面ABCD，已知△PDC是等腰直角三角形，其中∠PDC為直角，底面ABCD是邊長為2的正方形，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB上的點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA∥平面EDB； 
（Ⅱ）若

PB

=3

PF

，求證：PB⊥平面EFD；  
（Ⅲ）求二面角C-PB-D的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)EO，由EO為△CPA的中位線，能證明PA∥平面EDB．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出PD⊥DC，PD⊥平面ABCD．以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能證明PB⊥平面EFD．
（Ⅲ）分別求出平面PBD的法向量和平面PBC的法向量，利用向量法能求出二面角C-PB-D的大小．

解答： （本題滿分14分）
（Ⅰ）證明：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)EO，
因?yàn)锳BCD是正方形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)，
又因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，所以EO為△CPA的中位線，所以EO∥PA．…（2分）
因?yàn)镋O?平面EDB，PA?平面EDB，
所以PA∥平面EDB．…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)閭?cè)面PDC⊥底面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，
又因?yàn)閭?cè)面PDC是等腰直角三角形，其中∠PDC為直角，
所以PD⊥DC．又PD?平面PCD，所以PD⊥平面ABCD．
又AD⊥CD，得DA、DC、DP兩兩垂直．
如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．…（1分）
由題意知D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），
E（0，1，1）A （2，0，0），C （0，2，0）．
設(shè)F（x，y，z），由

PB

=3

PF

，
得：（2，2，-2）=3（x，y，z-2），
所以x=

2

3

，y=

2

3

，z=

4

3

，
所以F(

2

3

，

2

3

，

4

3

)．…（2分）
又

PB

=(2，2，-2)，

DE

=(0，1，1)，

DF

=(

2

3

，

2

3

，

4

3

)，
所以

PB

•

DE

=0，

PB

•

DF

=0…（4分）  
所以PB⊥DE，PB⊥DF，且DE∩DF于D．
所以PB⊥平面EFD．…（5分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 PD⊥平面ABCD，又因?yàn)锳C?平面ABCD，
所以AC⊥PD，又AC⊥BD，所以AC⊥平面PBD．
所以平面PBD的法向量是

AC

=(-2，2，0)．…（1分）
設(shè)平面PBC的法向量

n

=（x，y，z） 
由（Ⅱ）知

PB

=(2，2，-2)，

PC

=(0，2，-2)，
則有

n • PB =0 n • PC =0

，
所以

2x+2y-2z=0 2y-2z=0

，
令z=1 得n=（0，1，1）．…（3分）  
則 cos?

AC

，

n

＞=

AC • n

| AC |•| n |

=

-2×0+2×1+0×1

2 2 • 2

=

1

2

．…（4分）
由圖可知二面角C-PB-D的平面角為銳角，
所以二面角C-PB-D的大小為60°．…（5分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．