已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2
6
=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（-4，0），過(guò)點(diǎn)R（3，0）作與x軸不重合的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，連結(jié)AP，AQ分別交直線x=
16
3
于M，N兩點(diǎn)，試探究直線MR、NR的斜率之積是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出b=
|2
6
|
2
=2
3
，e=
1
2
，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），設(shè)直線PQ：x=my+3，與橢圓方程聯(lián)立，得（3m2+4）y2+18my-21=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線MR、NR的斜率為定值-
12
7
．
解答： 解：（1）由題意：b=
|2
6
|
2
=2
3
（2分）
e2=
a2-b2
a2
=
1
4
⇒a2=16（4分）
故橢圓C的方程為
x2
16
+
y2
12
=1（5分）
（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），若直線PQ與縱軸垂直，
則M，N中有一點(diǎn)與A重合，與題意不符，
故可設(shè)直線PQ：x=my+3．（6分）
將其與橢圓方程聯(lián)立，消去x得：（3m2+4）y2+18my-21=0（7分）
y1+y2=
-18m
3m2+4
，y1y2=
-21
3m2+4
（8分）
由A，P，M三點(diǎn)共線可知，
yM
16
3
+4
=
y1
x1+4
，yM=
28
3
•
y1
x1+4
，（9分）
同理可得yN=
28
3
•
y2
x2+4
（10分）
kMR•kNR=
yM
16
3
-3
•
yN
16
3
-3
=
9yM•yN
49
=
16y1y2
(x1+4)(x2+4)
（11分）
而(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49（12分）
所以kMR•kNR=
16×
-21
3m2+4
m2•
-21
3m2+4
+7m•
-18m
3m2+4
+49
=
16×(-21)
4×49
=-
12
7

故直線MR、NR的斜率之積為定值-
12
7
．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的斜率之積為定值的判斷與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a∈R，則“a=-1”是“直線ax+y-1=0與直線x+y+5=0垂直”的（　�。�
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)軸原點(diǎn)，且△AOB面積為
2
，橢圓C的離心率與雙曲線
x2
a2
-
y2
a2
=1離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓C的方程
（2）求過(guò)點(diǎn)P（
2
3
，-
1
3
）而不過(guò)點(diǎn)Q（
2
，1）的動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)．求∠MQN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)M為拋物線C：x2=4py（p＞0）準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作曲線C的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為A、B．
（Ⅰ）直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出該定點(diǎn)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）當(dāng)直線MA，MF，MB的斜率均存在時(shí)，求證：直線MA，MF，MB的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC⊥底面ABCD，已知△PDC是等腰直角三角形，其中∠PDC為直角，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB上的點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA∥平面EDB； 
（Ⅱ）若
PB
=3
PF
，求證：PB⊥平面EFD；  
（Ⅲ）求二面角C-PB-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖是某校校門(mén)的一個(gè)局部的截面設(shè)計(jì)圖，CA=AO=OB=2米，
EF
是以O(shè)為圓心、OA為半徑的圓的一段�。‥、F兩點(diǎn)分別在OC、OD上），∠AOC=∠BOD=θ（θ≤
π
4
），OD=k•OC（k是常數(shù)且1＜k≤3）．通過(guò)對(duì)材料性能進(jìn)行測(cè)算，“跨度比”
CD
OC
不能超過(guò)
3k+1
． 
（1）將該截面（圖中實(shí)線圍成的區(qū)域）的面積S表示為θ的函數(shù)；
（2）為使該門(mén)口顯得相對(duì)大氣，截面積S越大越好． 當(dāng)S最大時(shí)，試求cosθ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在銳角△ABC中，a=2
7
sinA且b=
21
．
（Ⅰ）求B的大��；
（Ⅱ）若a=3c，求c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2=8，S4=40．?dāng)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且Tn-2bn+3=0，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=
an，n為奇數(shù)
bn，n為偶數(shù)
，求數(shù)列{cn}的前2n+1項(xiàng)和P2n+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知某錐體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該錐體的體積為
 
cm3．

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同步練習(xí)冊(cè)答案