Question

已知f(x)=x³+bx²+cx+2.

(1)若f(x)在x=1時，有極值-1，求b、c的值；

(2)當b為非零實數(shù)時，證明f(x)的圖象不存在與直線(b²-c)x+y+1=0平行的切線；

(3)記函數(shù)|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值為M，求證：M≥.

Answer 1

答案：(1)解：∵f′(x)=3x²+2bx+c，

由f(x)在x=1時有極值-1，得                                        

即解得                                           

當b=1,c=-5時,f′(x)=3x²+2x-5=(3x+5)(x-1)，

當x＞1時，f′(x)＞0，當＜x＜1時，f′(x)＜0.

從而符合在x=1時，f(x)有極值，∴                                    

(2)解：假設(shè)f(x)圖象在x=t處的切線與直線(b²-c)x+y+1=0平行，

∵f′(t)=3t²+2bt+c，直線(b²-c)x+y+1=0的斜率為c-b²，

∴3t²+2bt+c=c-b²,                                                           

即3t²+2bt+b²=0.∵Δ=4(b²-3b²)=-8b²,又∵b≠0,∴Δ＜0.從而方程3t²+2bt+b²=0無解,因此不存在t，使f′(t)=c-b²，

f(x)的圖象不存在與直線(b²-c)x+y+1=0平行的切線.                               

(3)證法一：∵|f′(x)|=|3(x+)²+c|，

①若||＞1，則M應(yīng)是|f′(-1)|和|f′(1)|中最大的一個，

∴2M≥|f′(-1)|+|f′(1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|＞12，

∴M＞6，從而M≥.                                                       

②當-3≤b≤0時，2M≥|f′(-1)|+|f′()|

=|3-2b+c|+|c|≥|-2b+3|=|(b-3)²|≥3，∴M≥.

③當0＜b≤3時，2M≥|f′(1)|+|f′()|=|3+2b+c|+|c|≥|+2b+3|=|(b+3)²|＞3，∴M≥.

綜上所述，M≥.                                                          

證法二：f′(x)=3x²+2bx+c的頂點坐標是()，

①若||＞1，則M應(yīng)是|f′(-1)|和|f′(1)|中最大的一個，

∴2M≥|f′(-1)|+|f′(1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥4|b|＞12，

∴M＞6，從而M≥.                                                         

②若||≤1，則M是|f′(-1)|、|f′(1)|、||中最大的一個.

(ⅰ)當c≥時，2M≥|f′(1)|+|f′(-1)|≥|f′(1)+f′(-1)|=|6+2c|≥3，∴M≥.

(ⅱ)當c＜時，M≥||=-c≥-c＞，

綜上所述，M≥成立.