Question

16．已知二次函數(shù)f（x）=ax²-bx+1，A={x|1≤x≤3}，B={x|1≤x≤4}．若a是從集合A中隨機(jī)取的一個(gè)實(shí)數(shù)，b是從集合B中隨機(jī)取的一個(gè)實(shí)數(shù)，求關(guān)于x的方程f（x）=0一根在區(qū)間$（0\;，\;\frac{1}{2}）$內(nèi)，另一根在$[0\;，\;\frac{1}{2}]$外的概率．

Answer 1

分析 由題意，本題符合幾何概型，只要明確所有實(shí)驗(yàn)對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積以及關(guān)于x的方程f（x）=0一根在區(qū)間$（0\;，\;\frac{1}{2}）$內(nèi)，另一根在$[0\;，\;\frac{1}{2}]$外對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積，利用面積比求概率．

解答 解：設(shè)事件A為“關(guān)于x的方程f（x）=0一根在區(qū)間$（0\;，\;\frac{1}{2}）$內(nèi)，另一根在$[0\;，\;\frac{1}{2}]$外”．…1分
試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣?{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤4}．…2分
∵f（0）=1＞0…3分∴若滿足事件A，須  $f（\frac{1}{2}）＜0$…6分
即 $\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+1＜0$即a-2b+4＜0              …7分
∴構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{1≤a≤3}\\{1≤b≤4}\\{a-2b+4＜0}\end{array}\right.$　　                   …8分
表示的區(qū)域如圖所示的陰影部分
其中A（1，1），B）3，1），C（3，4），D（1，4），E（3，3.5），F(xiàn)（1，2.5），
陰影部分的面積為S=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}{2}×2$=2        …9分
區(qū)域Ω的面積為2×3=6            …10分
∴事件A的概率為$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$                      …11分
∴關(guān)于x的方程f（x）=0一根在區(qū)間$（0\;，\;\frac{1}{2}）$內(nèi)，另一根在$[0\;，\;\frac{1}{2}]$外的概率為$\frac{1}{3}$．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型概率的求法；關(guān)鍵是明確事件的測(cè)度，利用公式解答．