【題目】如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）(1)連接AF，與CD交于點(diǎn)H，連接GH，易得BF∥GH，從而得證；
（2）以D為原點(diǎn),直線DG，DE，DF分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)求面BCD的一個(gè)法向量為和面BEF的一個(gè)法向量為，利用＝即可得解.

(1)連接AF，與CD交于點(diǎn)H，連接GH，

則GH為△ABF的中位線，

所以BF∥GH，

又BF平面CDG，GH平面CDG，

所以BF∥平面CDG.

（2）由題意可知，直線DG，DE，DF兩兩垂直，

以D為原點(diǎn),直線DG，DE，DF分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則,,,,,

,,，.

設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為＝,則有,得,

取,得,所以＝,

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為＝,則有,得,

取,得,所以＝,

設(shè)平面BCD與平面BEF所成銳二面角為

則＝,

所以平面BCD與平面BEF所成銳二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知 的內(nèi)切圓切邊于點(diǎn)， 而是邊上的任意內(nèi)點(diǎn).設(shè)和的內(nèi)切圓圓心分別是和.

（1）求證：∠I1DI2 =90°（即、、、四點(diǎn)共圓）；

（2）設(shè)、、、四點(diǎn)所在的圓周的半徑為， 而的內(nèi)切圓半徑為，試求的取值范圍（取遍各種形狀的三角形，點(diǎn)取遍邊上的每一個(gè)內(nèi)點(diǎn)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，其中的“更相減損術(shù)”可以用來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，原文是：可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之. 翻譯為現(xiàn)代的語(yǔ)言如下：如果需要對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分，那么可以折半的話，就折半（也就是用2來(lái)約分）.如果不可以折半的話，那么就比較分母和分子的大小，用大數(shù)減去小數(shù)，互相減來(lái)減去，一直到減數(shù)與差相等為止，用這個(gè)相等的數(shù)字來(lái)約分，現(xiàn)給出“更相減損術(shù)”的程序框圖如圖所示，如果輸入的，，則輸出的（ ）

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn).

（i）求的取值范圍；

（ii）證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為,對(duì)任意,點(diǎn)都在函數(shù)圖像上．

（1）求、、,并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想；

（3）若數(shù)列滿足：,,且對(duì)任意的,都有、、成公比為的等比數(shù)列,、、成等差數(shù)列,設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)，，分別是線段，，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）在線段上有一點(diǎn)，若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本題滿分12分）某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：，，，，分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的頻率．

（Ⅱ）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？

附表：

P（）

0．100

0．010

0．001

k

2．706

6．635

10．828

，（其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出下列說(shuō)法：

①如果一條線段的中點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么它的兩個(gè)端點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)；

②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

③兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

④若一個(gè)四邊形有三條邊在同一個(gè)平面內(nèi)，則第四條邊也在這個(gè)平面內(nèi)；

⑤點(diǎn)在平面外，點(diǎn)和平面內(nèi)的任意一條直線都不共面.

其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某高校數(shù)學(xué)學(xué)院為了對(duì)2018年錄取的大一新生有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué).從大一新生中隨機(jī)抽取40名，對(duì)他們?cè)?018年高考的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)40名新生的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分布在內(nèi).當(dāng)時(shí)，其頻率.

（1）求的值；

（2）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中畫(huà)出這40名新生高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，并估計(jì)這40名新生的高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.

（3）若高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不低于120分的為優(yōu)秀，低于120分的為不優(yōu)秀，則按高考成績(jī)優(yōu)秀與否從這40名新生中用分層抽樣的方法抽取4名學(xué)生，再?gòu)倪@4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生的高考成績(jī)均為優(yōu)秀的概率.

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