Question

若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為3，則其外接球的表面積是

27π

．

Answer 1

分析：根據題意可得三棱錐的三條側棱兩兩垂直，因此以三條側棱為長、寬、高構造正方體如圖所示，該正方體的外接球就是三棱錐的外接球，利用長方體的對角線長公式算出球的直徑，再根據球的表面積公式加以計算，可得答案．

解答：解：設三棱錐A-BCD中，面ABC、面ABD、面ACD兩兩互相垂直，AB=AC=AD=3，
則AB、AC、AD兩兩互相垂直，以AB、AD、AC為長、寬、高，構造正方體如圖所示，
可得該正方體的外接球就是三棱錐A-BCD的外接球，
設球半徑為R，可得正方體的對角線長等于球直徑2R，
即2R=

AB2+AC2+AD2

=3

3

，解得R=

3 3

2

，
∴外接球的表面積是S=4πR²=4π×（

3 3

2

）²=27π．
故答案為：27π

點評：本題給出特殊的三棱錐，求它的外接球的表面積．著重考查了多面體的外接球、長方體的對角線長公式和球的表面積計算等知識，屬于基礎題．