Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2010^x+log₂₀₁₀x，則方程f（x）=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f₁（x）=2010^x，f₂（x）=-log₂₀₁₀x的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，方程f（x）=0有唯一實(shí)數(shù)根，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x＜0時(shí)，
也有唯一一個(gè)根使得f（x）=0，從而得到結(jié)論．

解答：解：當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）=0得，即2010^x=-log₂₀₁₀x，
在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)f₁（x）=2010^x，f₂（x）=-log₂₀₁₀x的圖象，
如右圖，可知兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)根，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，方程f（x）=0也有一個(gè)實(shí)根，
又∵f（0）=0，
∴方程f（x）=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為3．
故答案為 3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．