已知橢圓的中心為原點，點是它的一個焦點，直線過點與橢圓交于兩點，且當(dāng)直線垂直于軸時，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得在直線上可以找到一點，滿足為正三角形．如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：，則…①

當(dāng)垂直于軸時，兩點坐標(biāo)分別是和，

，則，即．………②

由①，②消去，得．

或（舍去）．

當(dāng)時，．

因此，橢圓的方程為．         

（Ⅱ）設(shè)存在滿足條件的直線．

(1)  當(dāng)直線垂直于軸時，由（Ⅰ）的解答可知，焦點到直線

的距離為，此時不滿足．

因此，當(dāng)直線垂直于軸時不滿足條件．         

（2）當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為．

由，

設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為和，則

，．

 ．   

又設(shè)的中點為，則．

當(dāng)為正三角形時，直線的斜率為．

，

．

當(dāng)為正三角形時，，即＝，

解得，．                            

因此，滿足條件的直線存在，且直線的方程為或．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•道里區(qū)二模）已知橢圓的中心為原點，離心率e=
3
2
，且它的一個焦點與拋物線x2=-4
3
y的焦點重合，則此橢圓方程為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為原點O，一個焦點為F(
3
，0)，離心率為
3
2
．以原點為圓心的圓O與直線y=x+4
2
互相切，過原點的直線l與橢圓交于A，B兩點，與圓O交于C，D兩點．
（1）求橢圓和圓O的方程；
（2）線段CD恰好被橢圓三等分，求直線l的方程．

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已知橢圓的中心為原點，離心率e=
3
2
，且它的一個焦點與拋物線x2=-4
3
y的焦點重合，則此橢圓方程為
x2+
y2
4
=1
x2+
y2
4
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（重慶卷解析版） 題型：解答題

已知橢圓的中心為原點，長軸在 軸上，上頂點為 ，左、右焦點分別為 ，線段  的中點分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求直線的方程

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（重慶卷解析版） 題型：解答題

已知橢圓的中心為原點，長軸在 軸上，上頂點為 ，左、右焦點分別為 ，線段  的中點分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求△的面積

 

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