Question

將邊長為1m的正三角形薄鐵片，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s=

(梯形的周長)2

梯形的面積

，則s的最小值是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,應(yīng)用題

分析：先設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x，用x表示出梯形的周長和面積，從而得到S的解析式，然后求S的最小值，
方法一：對函數(shù)S進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而確定最小值；
方法二：令3-x=t，代入整理根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值．

解答： 解：設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x，則梯形的周長為3-x，
梯形的面積為

3

4

(1-x2)，
∴s=

(3-x)2

3 4 (1-x2)

（0＜x＜1），
（方法一）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值．
令s（x）=

(3-x)2

3 4 (1-x2)

（0＜x＜1），則
s'（x）=

4

3

•

(2x-6)•(1-x2)-(3-x2)•(-2x)

(1-x2)2

=

4

3

•

-2(3x-1)(x-3)

(1-x2)2

，
令s'（x）=0，∵0＜x＜1，∴x=

1

3

，
當(dāng)0＜x＜

1

3

時，s'（x）＜0，當(dāng)

1

3

＜x＜1時，s'（x）＞0，
∴x=

1

3

時，s（x）取極小值，也為最小值，且為

32

3

3

．
（方法二）利用函數(shù)的方法求最小值．
令3-x=t（2＜t＜3），則x=3-t，
s（x）=

4

3

•

t2

1-(3-t)2

=

4

3

•

1

- 8 t2 + 6 t -1

=

4

3

•

1

-8( 1 t - 3 8 )2+ 1 8

，
∵2＜t＜3，∴

1

3

＜

1

t

＜

1

2

，
∴當(dāng)

1

t

=

3

8

即t=

8

3

，x=

1

3

時，s（x）取最小值，且為

32

3

3

．
故答案為：

32

3

3

．

點評：本題考查函數(shù)中的建模應(yīng)用，以及函數(shù)的最值求法，通�？捎们髮�(dǎo)的方法和換元法，注意新元的范圍，結(jié)合配方法，運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決．