Question

已知直線：

2

ax+by=1（其中a，b是實(shí)數(shù)） 與圓：x²+y²=1（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）相交于A，B兩點(diǎn)，且△AOB是直角三角形，點(diǎn)P（a，b）是以點(diǎn)M（0，1）為圓心的圓M上的任意一點(diǎn)，則圓M的面積最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：綜合題,直線與圓

分析：根據(jù)圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，由|OA|=|OB|根據(jù)題意可知△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出|AB|的長(zhǎng)度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得圓心到直線的距離等于|AB|的一半，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，兩者相等即可得到a與b的軌跡方程為一個(gè)橢圓，圓M的面積最小時(shí)，所求半徑為橢圓a²+

b2

2

=1上點(diǎn)P（a，b）到焦點(diǎn)（0，1）的距離最小值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由圓x²+y²=1，所以圓心（0，0），半徑為1
所以|OA|=|OB|=1，則△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=

2

則圓心（0，0）到直線

2

ax+by=1的距離為

1

2a2+b2

=

2

2

，
所以2a²+b²=2，即a²+

b2

2

=1．
因此，圓M的面積最小時(shí)，所求半徑為橢圓a²+

b2

2

=1上點(diǎn)P（a，b）到焦點(diǎn)（0，1）的距離最小值，由橢圓的性質(zhì)，可知最小值為

2

-1．
所以圓M的面積最小值為π（

2

-1）²=（3-2

2

）π．
故答案為：（3-2

2

）π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生靈活點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)求動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡方程，是一道綜合題．