【題目】在平面直角坐標(biāo)系中內(nèi)動點(diǎn)P(x,y)到圓F:x2+(y﹣1)2=1的圓心F的距離比它到直線y=﹣2的距離小1.
(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,過點(diǎn)F的直線l的斜率為k,直線l交曲線E于A,B兩點(diǎn),交圓F于C,D兩點(diǎn)(A,C兩點(diǎn)相鄰).
①若 =t ,當(dāng)t∈[1,2]時(shí),求k的取值范圍;
②過A,B兩點(diǎn)分別作曲線E的切線l1 , l2 , 兩切線交于點(diǎn)N,求△ACN與△BDN面積之積的最小值.
【答案】
(1)解:由題意,動點(diǎn)P(x,y)到F(0,1)的距離比到直線y=﹣2的距離小1,
∴動點(diǎn)P(x,y)到F(0,1)的距離等于它到直線y=﹣1的距離,
∴動點(diǎn)P的軌跡是以F(0,1)為焦點(diǎn)的拋物線,其方程為x2=4y
(2)解:①由題意知,直線l方程為y=kx+1,代入拋物線得x2﹣4kx﹣4=0,
設(shè)(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=﹣4,
∵ =t ,∴t=﹣ ,
∴ =﹣t﹣ +2=﹣4k2,
∴t+ =4k2+2
∵f(t)=t+ 在[1,2]上單調(diào)遞增,∴2≤t+ ,
∴ ;
②y= ,y′= ,
∴直線AN:y﹣ x12= x1(x﹣x1),BN:y﹣ x22= x1(x﹣x2),
兩式相減整理可得x= (x1+x2)=2k,
∴N(2k,﹣1),N到直線AB的距離d=2 ,
∵|AC|=|AF|﹣1=y1,|BD|=|BF|﹣1=y2,
∴|AC||BD|=1
∴△ACN與△BDN面積之積= = =1+k2,
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí),△ACN與△BDN面積之積的最小值為0
【解析】(1)由動點(diǎn)P(x,y)到F(0,1)的距離比到直線y=﹣2的距離小1,可得動點(diǎn)P(x,y)到F(0,1)的距離等于它到直線y=﹣1的距離,利用拋物線的定義,即可求動點(diǎn)P的軌跡W的方程;(2)①由題意知,直線l方程為y=kx+1,代入拋物線得x2﹣4kx﹣4=0,利用條件,結(jié)合韋達(dá)定理,可得t+ =4k2+2,利用函數(shù)的單調(diào)性,即可求k的取值范圍;②求出直線AN,BN的方程,表示出面積,即可得出結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+a).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當(dāng)a≥4時(shí),函數(shù)f(x)存在最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三一班舉辦消防安全知識競賽,分別選出3名男生和3名女生組成男隊(duì)和女隊(duì),每人一道必答題,答對則為本隊(duì)得10分,答錯(cuò)與不答都得0分,已知男隊(duì)每人答對的概率依次為 , , ,女隊(duì)每人答對的概率都是 ,設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響,用X表示男隊(duì)的總得分.
(I) 求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X);
(Ⅱ)求在男隊(duì)和女隊(duì)得分之和為50的條件下,男隊(duì)比女隊(duì)得分高的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 :,點(diǎn) , 分別是橢圓 的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),點(diǎn) 是 : 上的動點(diǎn),若 是常數(shù),則橢圓 的離心率為________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C.
(1)求∠C
(2)若△ABC的面積為5 ,b=5,求sinA.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次數(shù)學(xué)競賽中,30名參賽學(xué)生的成績(百分制)的莖葉圖如圖所示:若將參賽學(xué)生按成績由高到低編為1﹣30號,再用系統(tǒng)抽樣法從中抽取6人,則其中抽取的成績在[77,90]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C.
(1)求∠C
(2)若△ABC的面積為5 ,b=5,求sinA.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=60°,M為DC的中點(diǎn),若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界),則 的最大值為( )
A.3
B.2
C.6
D.9
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】年年底,某城市地鐵交通建設(shè)項(xiàng)目已經(jīng)基本完成,為了解市民對該項(xiàng)目的滿意度,分別從不同地鐵站點(diǎn)隨機(jī)抽取若干市民對該項(xiàng)目進(jìn)行評分(滿分分),繪制如下頻率分布直方圖,并將分?jǐn)?shù)從低到高分為四個(gè)等級:
滿意度評分 | 低于 60分 | 60分 到79分 | 80分 到89分 | 不低 于90分 |
滿意度等級 | 不滿意 | 基本滿意 | 滿意 | 非常滿意 |
已知滿意度等級為基本滿意的有人.
(1)求頻率分布于直方圖中的值,及評分等級不滿意的人數(shù);
(2)在等級為不滿意市民中,老年人占,中青年占,現(xiàn)從該等級市民中按年齡分層抽取人了解不滿意的原因,并從中選取人擔(dān)任整改督導(dǎo)員,求至少有一位老年督導(dǎo)員的概率;
(3)相關(guān)部門對項(xiàng)目進(jìn)行驗(yàn)收,驗(yàn)收的硬性指標(biāo)是:市民對該項(xiàng)目的滿意指數(shù)不低于,否則該項(xiàng)目需進(jìn)行整改,根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識,判斷該項(xiàng)目能否通過驗(yàn)收,并說明理由.
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