已知橢圓
x2
2
+y2=1
的左焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).
(1)若直線l的傾斜角α=
π
4
,求|AB|;
(2)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程;
(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),
線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.
分析:(1)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用弦長(zhǎng)公式,即可求得結(jié)論;
(2)利用點(diǎn)差法,即可求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程;
(3)設(shè)直線方程代入橢圓方程,確定AB的垂直平分線NG的方程,可得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.
解答:解:(1)直線l的方程為y=x+1,與橢圓方程聯(lián)立,可得3x2+4x=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1=0,x2=
4
3

∴|AB|=
2
|x1-x2|=
4
3
2

(2)設(shè)弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2
依題意有
x12
2
+y12=1
x22
2
+y22=1
x1+x2=2x
y1+y2=2y
y1-y2
x1-x2
=
y
x+1
,化簡(jiǎn)可得x2+x+2y2=0…(7分)
(3)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0),
代入
x2
2
+y2=1
,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
∵直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根.
記A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)N(x0,y0),則x1+x2=-
4k2
2k2+1

∴AB的垂直平分線NG的方程為y-y0=-
1
k
(x-x0)

令y=0,得
xG=x0+ky0=-
2k2
2k2+1
+
k2
2k2+1
=-
k2
2k2+1
=-
1
2
+
1
4k2+2

∵k≠0,
-
1
2
xG<0,

∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為(-
1
2
,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查軌跡方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x22
+y2=1
的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上,且BC∥x軸?求證直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x22
+y2=1
的左焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)求過(guò)點(diǎn)O、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程;
(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),并且線段AB的中點(diǎn)在直線x+y=0上,求直線AB的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x22
+y2=1的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,上頂點(diǎn)為A,直線AF1交橢圓于B.如圖所示沿x軸折起,使得平面AF1F2⊥平面BF1F2.點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).
( I ) 求三棱錐A-F1F2B的體積;
(Ⅱ)圖2中線段BF2上是否存在點(diǎn)M,使得AM⊥OB,若存在,請(qǐng)?jiān)趫D1中指出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•鐘祥市模擬)如圖,已知橢圓
x2
2
+y2=1
內(nèi)有一點(diǎn)M,過(guò)M作兩條動(dòng)直線AC、BD分別交橢圓于A、C和B、D兩點(diǎn),若|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2


(1)證明:AC⊥BD;
(2)若M點(diǎn)恰好為橢圓中心O
(i)四邊形ABCD是否存在內(nèi)切圓?若存在,求其內(nèi)切圓方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(ii)求弦AB長(zhǎng)的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案