Question

（2012•鐘祥市模擬）如圖，已知橢圓

x2

2

+y2=1內(nèi)有一點(diǎn)M，過M作兩條動(dòng)直線AC、BD分別交橢圓于A、C和B、D兩點(diǎn)，若|

AB

|2+|

CD

|2=|

BC

|2+|

AD

|2．

（1）證明：AC⊥BD；
（2）若M點(diǎn)恰好為橢圓中心O
（i）四邊形ABCD是否存在內(nèi)切圓？若存在，求其內(nèi)切圓方程；若不存在，請說明理由．
（ii）求弦AB長的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用|

AB

|2+|

CD

|2=|

BC

|2+|

AD

|2，即可證得

AC

•

BD

=0，從而AC⊥BD；
（2）（i）根據(jù)AC⊥BD，由橢圓對稱性知AC與BD互相平分，所以四邊形ABCD是菱形，它存在內(nèi)切圓，設(shè)直線AB方程為：y=kx+m，利用圓心到直線的距離，可得r2=

m2

k2+1

；聯(lián)立　

y=kx+m x2 2 +y2=1

，利用OA⊥OB，可得m2=

2

3

(1+k2)，從而可求內(nèi)切圓的方程；
（ii）求出弦AB的長|AB|=

3 2 m2

•

16( 3 2 m2-1)m2 [1+2( 3 2 m2-1)]2 -8 (m2-1) 1+2( 3 2 m2-1)

=

12m2(2m2-1) (3m2-1)2

，令3m²-1=t，則m2=

t+1

3

，所以|AB|=

12• t+1 3 (2 t+1 3 -1) t2

=

4 3 (- 1 t2 + 1 t +2)

=

4 3 [-( 1 t2 - 1 2 )]2+ 9 4

根據(jù)m2≥

2

3

，即可求得弦AB長的最小值．

解答：（1）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由|

AB

|2+|

CD

|2=|

BC

|2+|

AD

|2知(x1-x2)2+(y1-y2)2+(x3-x4)2+(y3-y4)2=(x2-x3)2+(y2-y3)2+(x1-x4)2+(y1-y4)2
展開整理得：x₁x₂+y₁y₂+x₃x₄+y₃y₄=x₂x₃+y₂y₃+x₁x₄+y₁y₄
即x₁（x₂-x₄）+x₃（x₄-x₂）+y₁（y₂-y₄）+y₃（y₄-y₂）=0
∴（x₁-x₃）（x₂-x₄）+（y₁-y₃）（y₂-y₄）=0
即

AC

•

BD

=0，
∴AC⊥BD…．（4分）
（2）解：（i）∵AC⊥BD，由橢圓對稱性知AC與BD互相平分，
∴四邊形ABCD是菱形，它存在內(nèi)切圓，圓心為O，設(shè)半徑為r，直線AB方程為：y=kx+m
則r=

|m|

k2+1

，即r2=

m2

k2+1

①
聯(lián)立　

y=kx+m x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
∴△=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)＞0，x1+x2=

-4mk

1+2k2

，x1•x2=

2m2-2

1+2k2

由（1）知OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
∴x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0
∴

2m2-2

1+2k2

+k2•

2m2-2

1+2k2

+km

-4km

1+2k2

+m2=0
∴2m²-2+2m²k²-2k²-4k²m²+m²+2m²k²=0
∴m2=

2

3

(1+k2)②
②代入①有：r2=

2

3

∴存在內(nèi)切圓，其方程為：x2+y2=

2

3

…．（9分）
容易驗(yàn)證，當(dāng)k不存在時(shí)，上述結(jié)論仍成立．
（ii）|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

16k2m2 (1+2k2)2 -4 2m2-2 1+2k2

∵m2=

2

3

(1+k2)k2=

3

2

m2-1≥0，m2≥

2

3

∴|AB|=

3 2 m2

•

16( 3 2 m2-1)m2 [1+2( 3 2 m2-1)]2 -8 (m2-1) 1+2( 3 2 m2-1)

=

12m2(2m2-1) (3m2-1)2

令3m²-1=t，則m2=

t+1

3

∴|AB|=

12• t+1 3 (2 t+1 3 -1) t2

=

4 3 (- 1 t2 + 1 t +2)

=

4 3 [-( 1 t2 - 1 2 )]2+ 9 4

∵m2≥

2

3

，∴

t+1

3

≥

2

3

，故t≥1，∴0＜

1

t

≤1
當(dāng)

1

t

=1時(shí)，|AB|min=

4 3 +2

=

2 6

3

，此時(shí)m2=

2

3

，k2=0
容易驗(yàn)證，當(dāng)k不存在時(shí)，|AB|=

2 6

3

…．（13分）

點(diǎn)評：本題以橢圓方程為載體，考查向量知識的運(yùn)用，考查橢圓與圓的綜合，考查圓中的弦長的求解，挖掘隱含，熟練計(jì)算是關(guān)鍵．