【題目】已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6。

(1)證明：函數(shù)f(x)在其定義域上是增函數(shù)；

(2)證明：函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

(3)求這個(gè)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間，使這個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度不超過。

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） .

【解析】

（1）直接根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明；

（2）由零點(diǎn)判定定理，即可證明；

（3）由（2）知，該零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)上，從而利用二分法確定區(qū)間即可.

(1)證明：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)，設(shè)0<x1<x2，則lnx1<lnx2, 2x1<2x2.

∴ lnx1＋2x1－6<lnx2＋2x2－6. ∴f(x1)<f(x2)．

∴ f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

(2)證明：∵ f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，

∴f(2)·f(3)<0. ∴ f(x)在(2,3)上至少有一個(gè)零點(diǎn)，

又由(1)可知f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，因此函數(shù)至多有一個(gè)根，

從而函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

(3)解：由（2）可知f(x)的零點(diǎn)，

取，，

∴ 區(qū)間長(zhǎng)度

取，，∴.

∴，區(qū)間長(zhǎng)度，

∴即為符合條件的區(qū)間．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合.

（1）若，求的概率；

（2）若，求的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知互不重合的直線,互不重合的平面,給出下列四個(gè)命題，正確命題的個(gè)數(shù)是

①若 ， ，，則

②若，，則

③若，，，則

④若 ， ，則//

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)若函數(shù)為上的奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)是否存在實(shí)數(shù)()，使得 在閉區(qū)間上的最大值為2，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a，b，c分別為銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC （Ⅰ）求∠A的大�。�
（Ⅱ）若f（x）= sin cos +cos2 ，求f（B）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍是______.

【答案】

【解析】∵，

∴，

又函數(shù)在單調(diào)遞增，

∴在上恒成立，

即在上恒成立。

又當(dāng)時(shí)， ，

∴。

又，

∴。

故實(shí)數(shù)的取值范圍是。

答案：

點(diǎn)睛：對(duì)于導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系要分清以下結(jié)論：

（1）當(dāng)時(shí)，若，則在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減）；

（2）若函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減），則在區(qū)間D上恒成立。即解題時(shí)可將函數(shù)單調(diào)性的問題轉(zhuǎn)化為的問題，但此時(shí)不要忘記等號(hào)。

【題型】填空題
【結(jié)束】
19

【題目】某珠寶店丟了一件珍貴珠寶，以下四人中只有一人說真話，只有一人偷了珠寶.甲：我沒有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我沒有偷.根據(jù)以上條件，可以判斷偷珠寶的人是__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率，短軸長(zhǎng)為2.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)，若面積為，求直線的方程.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意得，再由 橢圓的方程為；（Ⅱ）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨取面積為 ，不符合題意. ②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線， 由 得 ，再求點(diǎn)的直線的距離 點(diǎn)到直線的距離為面積為 ∴或 所求方程為或.

試題解析：

（Ⅰ）由題意得，∴，

∵，∴，

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨取，

∴面積為 ，不符合題意.

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，

由化簡(jiǎn)得，

設(shè)，

∴ ，

∵點(diǎn)的直線的距離，

又是線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到直線的距離為，

∴面積為 ，

∴，∴，∴，∴或，

∴直線的方程為或.

【題型】解答題
【結(jié)束】
25

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（Ⅱ）若，且，證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖放置的邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC沿x軸滾動(dòng)，記滾動(dòng)過程中頂點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)分別為和，且是在映射作用下的象，則下列說法中：

① 映射的值域是；

② 映射不是一個(gè)函數(shù)；

③ 映射是函數(shù)，且是偶函數(shù)；

④ 映射是函數(shù)，且單增區(qū)間為，

其中正確說法的序號(hào)是___________.

說明：“正三角形ABC沿x軸滾動(dòng)”包括沿x軸正方向和沿x軸負(fù)方向滾動(dòng)．沿x軸正方向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)C落在x軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)．類似地，正三角形ABC可以沿x軸負(fù)方向滾動(dòng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是

A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）

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