Question

已知f(log2x)=

x2-2x+1

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）畫(huà)出f（x）的圖象，并求出單調(diào)區(qū)間；
（3）討論f（x）與f（x+1）的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f(log2x)=

x2-2x+1

=|x-1|，利用換元法令t=log₂x，則x=2^t，代入f(log2x)=

x2-2x+1

，即可求得f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1），利用函數(shù)圖象 的平移和對(duì)稱(chēng)變換畫(huà)出畫(huà)出f（x）的圖象，并根據(jù)圖象求出單調(diào)區(qū)間；
（3）令f（x）=f（x+1）求出x的值，分三種情況討論f（x）與f（x+1）的大�。�

解答：解：（1）f(log2x)=

x2-2x+1

=|x-1|，
令t=log₂x，則x=2^t，
∴f（t）=|2^t-1|，
即f（x）=|2^x-1|；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象知，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）f（x+1）=|2^x+1-1|；
1°當(dāng)x＞log₂

2

3

時(shí)，有|2^x+1-1|＞|2^x-1|，即f（x）＜f（x+1）；
2°當(dāng)x=log₂

2

3

時(shí)，有|2^x+1-1|=|2^x-1|，即f（x）=f（x+1）；
3°當(dāng)x＜log₂

2

3

時(shí)，有|2^x+1-1|＜|2^x-1|，即f（x）＞f（x+1）．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查了利用換元法求函數(shù)解析式和函數(shù)圖象的變換，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，以及學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．