Question

已知f(log2x)=ax2-2x+1-a，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關于x的方程f（x）=（a-1）•4^x
（3）設h（x）=2^-xf（x），a≥

1

2

時，對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有|h(x1)-h(x2)|≤

a+1

2

成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令log₂x=t即x=2^t，從而求出f（t）的解析式，最后將t用x替換即可求出所求；
（2）將f（x）=（a-1）•4^x進行配方得（2^x-1）²=a，討論a可得方程的解的情況；
（3）將“對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有|h(x1)-h(x2)|≤

a+1

2

成立”轉化成“當x∈[-1，1]時，hmax-hmin≤

a+1

2

恒成立”討論研究函數(shù)h（x）的最值，從而求出a的取值范圍．

解答：解：（1）令log₂x=t即x=2^t，則f（t）=a•（2^t）²-2•2^t+1-a，
即f（x）=a•2^2x-2•2^x+1-a，x∈R，
（2）由f（x）=（a-1）•4^x化簡得：2^2x-2•2^x+1-a=0即（2^x-1）²=a，
當a＜0時，方程無解，
當a≥0時，解得2x=1±

a

，
若0≤a＜1，則x=log2(1±

a

)，
若a≥1，則x=log2(1+

a

)，
（3）對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有|h(x1)-h(x2)|≤

a+1

2

成立，等價于
當x∈[-1，1]時，hmax-hmin≤

a+1

2

，h(x)=a•2x+

1-a

2x

-2，
令2^x=t，則y=at+

1-a

t

-2，t∈[

1

2

，2]，
令g(t)=at+

1-a

t

-2，t∈[

1

2

，2]，
①當a≥1時，g(t)=at+

1-a

t

-2，t∈[

1

2

，2]單調遞增，
此時g(t)max=g(2)=

3(a-1)

2

，g(t)min=g(

1

2

)=-

3a

2

，g(t)max-g(t)min=

6a-3

2

≤

a+1

2

即a≤

4

5

（舍），
②當

4

5

≤a＜1時，g(t)=at+

1-a

t

-2，t∈[

1

2

，2]單調遞增
此時g(t)max=g(2)=

3(a-1)

2

，g(t)min=g(

1

2

)=-

3a

2

，g(t)max-g(t)min=

6a-3

2

≤

a+1

2

即a≤

4

5

∴a=

4

5

，
③當

1

2

≤a＜

4

5

時，g(t)=at+

1-a

t

-2，t∈[

1

2

，2]
在[

1

2

，

1 a -1

]上單調遞減，在[

1 a -1

，2]上單調遞增
且g(2)≥g(

1

2

)∴g(t)max=g(2)=

3(a-1)

2

，g(t)min=g(

1 a -1

)=2

a(1-a)

-2，
∴g(t)max-g(t)min=

3(a-1)

2

-(2

a(1-a)

-2)≤

a+1

2

即a≤

4

5

，
∴

1

2

≤a＜

4

5

，
綜上：

1

2

≤a≤

4

5

．

點評：本題是一道綜合題，主要考查了函數(shù)的解析式，解指數(shù)方程，以及函數(shù)恒成立問題，同時考查了轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．