Question

17．已知f（x）是定義在R上的偶函數，且x≤0時，f（x）=log₂（-x+1）
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）求函數f（x）的解析式；
（3）若f（a-1）＞1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接根據函數的解析式求得f（0）的值，再根據函數的奇偶性，可得f（-1）=f（1），再根據根據函數的解析式求得f（1）的值．
（2）設x＜0，則-x＞0，可得 f（-x）=log₂（-x+1），再根據f（x）是定義在R上的偶函數，求得f（x）的解析式．綜合可得結論．
（3）先判斷單調性，再根據單調性解答．

解答 解：（1）由題意可得f（0）=log₂（0+1）=0，f（-1）=log₂（1+1）=1．
（2）設x＞0，則-x＜0，∴f（-x）=log₂（x+1）．
再根據f（x）是定義在R上的偶函數，可得 f（x）=log₂（x+1）．
綜上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（-x+1），x≤0}\\{lo{g}_{2}（x+1），x＞0}\end{array}\right.$
（3）設x₁＜x₂≤0，
則-x₁＞-x₂＞0，
∴1-x₁＞1-x₂＞0，
∴$\frac{1-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}$＞1，
所以f（x₁）-f（x₂）=$lo{g}_{2}^{（-{x}_{1}+1）}-lo{g}_{2}^{（-{x}_{2}+1）}$=$lo{g}_{2}\frac{-{x}_{1}+1}{-{x}_{2}+1}$＞log₂1=0，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在x≤0上為減函數，又f（x）為定義在R上的偶函數，
所以f（x）在（0，+∞）上為增函數，
f（a-1）＞1=f（1），
∴|a-1|＞1解得a＞2或a＜0，
故實數a的取值范圍為（-∞，0）∪（2，+∞）．

點評 本題主要考查函數的奇偶性，單調性，解析式，屬于中檔題．