Question

5．過橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點F₂的直線與圓x²+y²=b²相切于點A，并與橢圓C交于不同的兩點P，Q，若$\overrightarrow{PA}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{PQ}$，則橢圓離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 連接OA，PF₁，則OA⊥PQ，得PF₁⊥PQ，由A為線段PQ的靠近P的三等分點，得A為線段PA的中點，于是PF₁=2b．結(jié)合橢圓的定義有PF₂=2a-2b，由此能求出橢圓的離心率．

解答 解：如圖，

解：連接OA，PF₁，
則OA⊥PQ，∴PF₁⊥PQ，
∵$\overrightarrow{PA}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{PQ}$，∴A為線段PQ的靠近P的三等分點，則A為線段PF₂的中點，
于是PF₁=2b．
結(jié)合橢圓的定義有PF₂=2a-2b，
在直角三角形PF₁F₂中，
利用勾股定理得（2a-2b）²+（2b）²=（2c）²，
將c²=a²-b²代入，
整理可得b=$\frac{2}{3}$a，
于是e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-\frac{4}{9}{a}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．