【題目】明初出現(xiàn)了一大批杰出的騎兵將領(lǐng),比如徐達、常遇春、李文忠、藍玉和朱棣.明初騎兵軍團擊敗了不可一世的蒙古騎兵,是當(dāng)時世界上最強騎兵軍團.假設(shè)在明軍與元軍的某次戰(zhàn)役中,明軍有8位將領(lǐng),善用騎兵的將領(lǐng)有5人;元軍有8位將領(lǐng),善用騎兵的有4人.
(1)現(xiàn)從明軍將領(lǐng)中隨機選取4名將領(lǐng),求至多有3名是善用騎兵的將領(lǐng)的概率;
(2)在明軍和元軍的將領(lǐng)中各隨機選取2人,為善用騎兵的將領(lǐng)的人數(shù),寫出的分布列,并求.
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【題目】如圖,在邊長為的正方形中,線段BC的端點分別在邊、上滑動,且,現(xiàn)將,分別沿AB,AC折起使點重合,重合后記為點,得到三被錐.現(xiàn)有以下結(jié)論:
①平面;
②當(dāng)分別為、的中點時,三棱錐的外接球的表面積為;
③的取值范圍為;
④三棱錐體積的最大值為.
則正確的結(jié)論的個數(shù)為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知定圓:,其圓心為,點為圓所在平面內(nèi)一定點,點為圓上一個動點,若線段的中垂線與直線交于點,則動點的軌跡可能為______.(寫出所有正確的序號)(1)橢圓;(2)雙曲線;(3)拋物線;(4)圓;(5)直線;(6)一個點.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,平面,,,,分別是,的中點.
(1)求證:;
(2)設(shè)為線段上的動點,若線段長的最小值為,求二面角的余弦值.
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【題目】某次高三年級模擬考試中,數(shù)學(xué)試卷有一道滿分10分的選做題,學(xué)生可以從A,B兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學(xué)生參加了本次考試,為了了解該校學(xué)生解答該選做題的得分情況,作為下一步教學(xué)的參考依據(jù),計劃從900名考生的選做題成績中隨機抽取一個容量為10的樣本,為此將900名考生選做題的成績按照隨機順序依次編號為001~900.
(1)若采用系統(tǒng)抽樣法抽樣,從編號為001~090的成績中用簡單隨機抽樣確定的成績編號為025,求樣本中所有成績編號之和;
(2)若采用分層抽樣,按照學(xué)生選擇A題目或B題目,將成績分為兩層.已知該校高三學(xué)生有540人選做A題目,有360人選做B題目,選取的樣本中,A題目的成績平均數(shù)為5,方差為2,B題目的成績平均數(shù)為5.5,方差為0.25.
(i)用樣本估計該校這900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差;
(ii)本選做題閱卷分值都為整數(shù),且選取的樣本中,A題目成績的中位數(shù)和B題目成績的中位數(shù)都是5.5.從樣本中隨機選取兩個大于樣本平均值的數(shù)據(jù)做進一步調(diào)查,求取到的兩個成績來自不同題目的概率.
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【題目】已知橢圓中心在原點,焦點在坐標(biāo)軸上,直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點是,點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點,橢圓另一個焦點是,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過點,且與橢圓交于兩點,求的內(nèi)切圓面積的最大值.
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【題目】已知拋物線:,直線:.
(1)若直線與拋物線相切,求直線的方程;
(2)設(shè),直線與拋物線交于不同的兩點,,若存在點,滿足,且線段與互相平分(為原點),求的取值范圍.
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【題目】如圖,用一平面去截球,所得截面面積為,球心到截面的距離為3,為截面小圓圓心,為截面小圓的直徑.
(1)計算球的表面積和體積;
(2)若是截面小圓上一點,,分別是線段和的中點,求異面直線與所成的角(結(jié)果用反三角表示).
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【題目】若函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù))有兩個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍為________.
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