Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，，，，分別是，的中點(diǎn).

(1)求證：；

(2)設(shè)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，若線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，得到平面，進(jìn)而可推出結(jié)論成立；

（2）為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，根據(jù)題意得到，由（1）得，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，由向量夾角公式，即可得出結(jié)果.

(1)∵四邊形為菱形，，

∴為正三角形.

又為的中點(diǎn)，∴.

∵，∴.

∵平面，平面，

∴.

∵平面，平面，且，

∴平面，

又平面，∴；

(2)如圖，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，.

當(dāng)線(xiàn)段的長(zhǎng)最小時(shí)，.

由(1)知，∵，

∴平面.

∵平面，∴.

在中，，，，

∴，

在中，由，，可知，即.

∴在中，可得.

由(1)可知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由，分別是，的中點(diǎn)，可得，，，，，，，

所以，.

設(shè)平面的法向量為，

則，因此，

取，得.

因?yàn)?/span>，，，

所以平面，

故為平面的一個(gè)法向量.

又，

所以.

由圖易知二面角為銳角，故所求二面角的余弦值為.