【題目】在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,AB=PA=BC(a>0).
(1)當(dāng)a=1時,求證:BD⊥PC;
(2)若BC邊上有且只有一個點Q,使得PQ⊥QD,求此時二面角A-PD-Q的余弦值.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】試題分析:(1)由已知得PA⊥BD,ABCD是正方形,BD⊥AC,由此能證明BD⊥PC.(2)AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系,利用向量法求出平面PQD的法向量及平面PAD的法向量即可求出二面角A-PD-Q的余弦值.
試題解析:
(1)當(dāng)a=1時,底面ABCD為正方形,∴BD⊥AC,
又∵BD⊥PA,∴BD⊥面PAC,又PC面PAC,∴BD⊥PC.
(2)∵AB,AD,AP兩兩垂直,∴分別以為它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
令AB=1,可得BC=a,則B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),P(0,0,1).
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0≤m≤a),
要使PQ⊥QD,只要·=-1+m(a-m)=0,
即m2-am+1=0,由Δ=a2-4=0a=2,此時m=1.
∴BC邊上有且只有一個點Q,使得PQ⊥QD,
此時,Q為BC的中點,且a=2,設(shè)平面PQD的法向量p=(x,y,1),
則即
解得p=(,,1),
取平面PAD的法向量q=(1,0,0),
∴cos<p,q>==,
即二面角A-PD-Q的余弦值為.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+a)e-x,a∈R
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f’(x),其中f’(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).判斷g(x)在定義域內(nèi)是否為單調(diào)函數(shù),并說明理由.
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【題目】已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,且a1=1,anan+1=2Sn.(n∈N*)
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{n·}的前n項和Tn.
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【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求曲線在處的切線方程.
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅲ)設(shè),其中,證明:函數(shù)僅有一個零點.
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【題目】對于定義域為的函數(shù),若滿足①;②當(dāng),且時,都有;③當(dāng),且時, ,則稱為“偏對稱函數(shù)”.現(xiàn)給出四個函數(shù):
①; ② ;
③ ; ④.
則其中是“偏對稱函數(shù)”的函數(shù)為__________.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=ax+b的圖象大致為( )
A. B. C. D.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-1.
(1)當(dāng)a>0時,設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求證:g(a)≤0;
(2)求證:對任意的正整數(shù)n,都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1<(n+1)n+1.
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【題目】近年來許多地市空氣污染較為嚴(yán)重,現(xiàn)隨機抽取某市一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)()的監(jiān)測數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如表:
指數(shù) | ||||||
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
天數(shù) | 4 | 13 | 18 | 30 | 20 | 15 |
記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失為(單位:元),指數(shù)為.當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時,對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失;當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時,對企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失與成直線模型(當(dāng)指數(shù)為150時,造成的經(jīng)濟(jì)損失為1100元,當(dāng)指數(shù)為200時,造成的經(jīng)濟(jì)損失為1400元);當(dāng)指數(shù)大于300時,造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元.
(1)試寫出的表達(dá)式;
(2)試估計在本年內(nèi)隨機抽取1天,該天經(jīng)濟(jì)損失大于1100且不超過1700元的概率;
(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,這30天中有8天為嚴(yán)重污染,完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為該市本年度空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)?
非嚴(yán)重污染 | 嚴(yán)重污染 | 合計 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合計 |
附:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
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