Question

19．如圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N為線段PB的中點(diǎn)．
（1）證明：NE⊥PD；
（2）求四棱錐B-CEPD的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC與BD交于點(diǎn)F，則F為BD的中點(diǎn)，連接NF，利用正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理可得NF∥PD，且$NF=\frac{1}{2}PD$，再利用已知可得四邊形NFCE為平行四邊形，利用PD⊥平面ABCD，即可證明．
（2）利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得：BC⊥平面PDCE．因此BC是四棱錐B-PDCE的高．利用四棱錐B-PDCE的體積=V_B-PDCE=$\frac{1}{3}{S}_{梯形PDCE}•BC$即可得出．

解答 （1）證明：連接AC與BD交于點(diǎn)F，則F為BD的中點(diǎn)，連接NF，
∵N為線段PB的中點(diǎn)，
∴NF∥PD，且$NF=\frac{1}{2}PD$，
又EC∥PD，且$EC=\frac{1}{2}PD$，
∴NF∥EC，且NF=EC，
∴四邊形NFCE為平行四邊形，
∴NE∥FC，即NE∥AC．
又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵NE∥AC，
∴NE⊥PD．
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD．
∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PDCE．
∴BC是四棱錐B-PDCE的高．
∵S_梯形PDCE=$\frac{（PD+CE）×CD}{2}$=$\frac{（2+1）×2}{2}$=3，
∴四棱錐B-PDCE的體積=V_B-PDCE=$\frac{1}{3}{S}_{梯形PDCE}•BC$=$\frac{1}{3}×3×2$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、平行四邊形與矩形的判定與性質(zhì)定理、四棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．