Question

長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA₁=4．
（1）說(shuō)出BD₁與平面BCC₁B₁所成角，并求出它的余弦值；
（2）指出二面角D₁-AC-D的平面角，并求出它的正切值；
（3）求該長(zhǎng)方體的外接球的表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面所成的角,二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BC₁，則∠D₁BC₁就是BD₁與平面BCC₁B₁所成角，由此能求出BD₁與平面BCC₁B₁所成角的余弦值．（2）連結(jié)AC，BD，交于O，連結(jié)OD₁，則∠DOD₁是二面角D₁-AC-D的平面角，由此能求出二面角D₁-AC-D的正切值．
（3）該長(zhǎng)方體的外接球半徑R=

1

2

4+4+16

=

6

，由此能求出該長(zhǎng)方體的外接球的表面積．

解答： 解：（1）連結(jié)BC₁，則∠D₁BC₁就是BD₁與平面BCC₁B₁所成角，
∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA₁=4，
∴BC₁=

4+16

=2

5

，BD₁=

4+4+16

=2

6

，
∴cos∠D₁BC₁=

BC1

BD1

=

2 5

2 6

=

30

6

．
∴BD₁與平面BCC₁B₁所成角的余弦值為

30

6

．
（2）連結(jié)AC，BD，交于O，連結(jié)OD₁，
則∠DOD₁是二面角D₁-AC-D的平面角，
∵DD₁=4，OD=

2

，
∴tan∠DOD₁=

DD1

DO

=

4

2

=2

2

．
∴二面角D₁-AC-D的正切值為2

2

．
（3）該長(zhǎng)方體的外接球半徑R=

1

2

4+4+16

=

6

，
∴該長(zhǎng)方體的外接球的表面積S=4π×(

6

)2=24π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的余弦值和正切值的求法，考查長(zhǎng)方體的外接球的表面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．