Question

已知三個集合E={x|x²-3x+2=0},F={x|x²-ax+(a-1)=0},G={x|x²-3x+b=0}.問:同時滿足FE,GE的實數(shù)a和b是否存在?若存在,求出a、b所有值的集合;若不存在,請說明理由.

Answer 1

思路分析:將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為二元一次方程的解之間的關(guān)系,從而求得a、b的值.

解:(1)由已知,E={1,2},又∵FE,∴F=或{1}或{2}.

①當F=時,即方程x²-ax+(a-1)=0無解.∴Δ=a²-4(a-1)＜0,

即(a-2) ²＜0,矛盾.

∴F不可能為,即F≠.

②當F={1}時,即方程x²-ax+(a-1)=0有兩相等的實根為1,

由根與系數(shù)的關(guān)系知

∴即a=2時,FE.

③當F={2}時,即方程x²-ax+(a-1)=0有兩相等的實根為2,

由根與系數(shù)的關(guān)系知∴

∴a無解,即不存在a的值使FE.

綜上,a=2時,FE.

(2)當GE且E={1,2},∴G=或{1}或{2}或{1,2}.

①當G=時,即方程x²-3x+b=0無解.

∴Δ=9-4b＜0.∴b＞.此時GE.

②當G={1}時,即方程x²-3x+b=0有兩相等的根為1.

由根與系數(shù)的關(guān)系知矛盾.

③當G={2}時,同理矛盾.

④當G={1,2}時,即方程x²-3x+b=0有兩異根為1、2.

由根與系數(shù)的關(guān)系,知∴b=2.

綜上知b=2或b＞時,GE.

綜合(1)(2)知,同時滿足FE,GE的a、b的值存在.

適合條件的a、b集合分別為{2}、{b|b=2或b＞}.