Question

設(shè)數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足：對任意n∈N^*，都有，．其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）當(dāng)b=2時(shí)，求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)b≠2時(shí)，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過已知表達(dá)式，求出，當(dāng)b=2時(shí)，說明是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)b≠2時(shí)，利用，推出，通過b=0，1，≠0，1分別求解數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．
另解通過求出a₁，b=0，1與b≠0，1，利用是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，求出數(shù)列的和即可．
解答：解：由題意知a₁=2，且，
兩式相減得
即①
（1）當(dāng)b=2時(shí)，由①知
于是=
又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
故知，，
再由，得．
（2）當(dāng)b≠2時(shí)，由①得=
若b=0，
若b=1，，
若b≠0、1，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以b為公比的等比數(shù)列，
故，，

b=1時(shí)，符合上式
所以，當(dāng)b≠0時(shí)，
當(dāng)b=0時(shí)，
另解：
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=2
當(dāng)n≥2時(shí)，∵∴
∴
若b=0，
若b≠0，兩邊同除以2ⁿ得
令，即
由得∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
∴，
所以，當(dāng)b≠0時(shí)，
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，等比數(shù)列的判定，考查分析問題解決問題的能力．