Question

（2013•閘北區(qū)二模）設數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足：對任意n∈N^*，都有ban-2n=(b-1)Sn，bn=an-n•2n-1．其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．
（1）當b=2時，求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）當b≠2時，求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）通過已知表達式，求出an+1=ban+2n，當b=2時，說明{an-n•2n-1}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）當b≠2時，利用an+1=ban+2n，推出an+1-

1

2-b

•2n+1=b(an-

1

2-b

•2n)，通過b=0，1，≠0，1分別求解數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．
另解通過求出a₁，b=0，1與b≠0，1，利用{

Sn

2n

+

2

b-2

}是以

b

b-2

為首項，

b

2

為公比的等比數(shù)列，求出數(shù)列的和即可．

解答：解：由題意知a₁=2，且ban-2n=(b-1)Sn，ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1
兩式相減得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1
即an+1=ban+2n①
（1）當b=2時，由①知an+1=2an+2n
于是an+1-(n+1)•2n=2an+2n-(n+1)•2n=2(an-n•2n-1)
又a1-1•2n-1=1≠0，所以{an-n•2n-1}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
故知，bn=2n-1，
再由bn=an-n•2n-1，得an=(n+1)2n-1．
（2）當b≠2時，由①得an+1-

1

2-b

•2n+1=ban+2n-

1

2-b

•2n+1=b(an-

1

2-b

•2n)
若b=0，Sn=2n
若b=1，an=2n，Sn=2n+1-2
若b≠0、1，數(shù)列{an-

1

2-b

•2n}是以

2(1-b)

2-b

為首項，以b為公比的等比數(shù)列，
故an-

1

2-b

•2n=

2(1-b)

2-b

•bn-1，an=

1

2-b

[2n+(2-2b)bn-1]Sn=

1

2-b

(2+22+23+…+2n)+

2(1-b)

2-b

(1+b1+b2+…+bn-1)，
Sn=

2(2n-bn)

2-b

b=1時，Sn=2n+1-2符合上式
所以，當b≠0時，Sn=

2(2n-bn)

2-b

當b=0時，Sn=2n
另解：
當n=1時，S₁=a₁=2
當n≥2時，∵ban-2n=(b-1)Sn∴b(Sn-Sn-1)-2n=(b-1)Sn
∴Sn=bSn-1+2n
若b=0，Sn=2n
若b≠0，兩邊同除以2ⁿ得

Sn

2n

=

b

2

•

Sn-1

2n-1

+1
令

Sn

2n

+m=

b

2

•

Sn-1

2n-1

+1+m，即

Sn

2n

+m=

b

2

•(

Sn-1

2n-1

+

2+2m

b

)
由m=

2+2m

b

得m=

2

b-2

∴{

Sn

2n

+

2

b-2

}是以

b

b-2

為首項，

b

2

為公比的等比數(shù)列
∴

Sn

2n

+

2

b-2

=

b

b-2

•(

b

2

)n-1，
所以，當b≠0時，Sn=

2(2n-bn)

2-b

點評：本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，數(shù)列求和，等比數(shù)列的判定，考查分析問題解決問題的能力．