Question

【題目】中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美，給出定義：能夠?qū)�圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”，給出下列命題：

①對(duì)于任意一個(gè)圓O，其“優(yōu)美函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)；

②函數(shù)f（x）＝ln（）可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

③函數(shù)y＝1+sinx可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

④函數(shù)y＝2x+1可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

⑤函數(shù)y＝f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y＝f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形.

其中正確的命題是_____.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據(jù)優(yōu)美函數(shù)的定義，經(jīng)過(guò)圓心的直線滿足①；對(duì)于函數(shù)根據(jù)其單調(diào)性且圖象為曲線可判斷②；當(dāng)圓心經(jīng)過(guò)的中心時(shí)可判斷③；直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)可判斷④；舉出反例雙曲線可判斷⑤.

①對(duì)于任意一個(gè)圓，其過(guò)圓心的對(duì)稱軸由無(wú)數(shù)條，所以其“優(yōu)美函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)，故①正確；②函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增且圖象為曲線，故不可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”，故②不正確；③當(dāng)圓經(jīng)過(guò)函數(shù)的對(duì)稱中心時(shí)，根據(jù)的圖象可知可以將圓分成優(yōu)美函數(shù)，圖象可以延伸，所以可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；④函數(shù)只要過(guò)圓心，即可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；⑤函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，不對(duì)，有些中心對(duì)稱圖形不一定是“優(yōu)美函數(shù)”，比如“雙曲線”；故答案為①③④．