Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx．
（1）當a=1時，函數(shù)f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a＜0時，解不等式f（x）＜0；
（3）當a=1時，對x∈（1，+∞），直線y=k（x-1）恒在函數(shù)y=f（x）的圖象下方．求整數(shù)k的最大值．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線l的方程；
（2）解對數(shù)不等式求得即可；
（3）由題意得問題等價于k＜

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

對任意x＞1恒成立，令g（x）=

x+xlnx

x-1

，利用導數(shù)求得函數(shù)的最小值即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1），當a=1時．f（x）=x+xlnx．∴f′（x）=2+lnx，
∴f′（1）=2，f（1）=1，
∴切線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1…（2分）
（2）∵f（x）=ax+xlnx，又函數(shù)的定義域為（0，+∞），
∴f（x）＜0?a+lnx＜0，∴x∈（0，e^-a）…（4分）
（3）由a=1時，對x∈（1，+∞）時，直線y=k（x-1）恒在函數(shù)y=f（x）的圖象下方得，
問題等價于k＜

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

對任意x＞1恒成立．…（5分）
令g（x）=

x+xlnx

x-1

，∴g′（x）=

x-2-lnx

(x-1)2

，
令h（x）=x-2-lnx，故h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
由于h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0
所以存在x₀∈（3，4），使得h（x₀）=x₀-2-lnx₀=0．
則x∈（1，x₀）時，h（x）＜0；x∈（x₀，+∞）時，h（x）＞0，
即x∈（1，x₀）時，g'（x）＜0；x∈（x₀，+∞）時，g'（x）＞0
知g（x）在（1，x₀）遞減，（x₀，+∞）遞增…（10分）
又g（x₀）＜g（3）=

3

2

(ln3+1)＜g（4）=2+2ln4，所以k_max=3．  …（12分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)切線方程、單調(diào)性、最值等性質(zhì)，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．