Question

20．設(shè)$\overrightarrow{a}$是已知的平面向量且$\overrightarrow{a}$≠0．關(guān)于向量$\overrightarrow{a}$的分解，有如下四個(gè)命題：
①給定向量$\overrightarrow$，總存在向量$\overrightarrow{c}$，使$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$；
②給定向量$\overrightarrow$和$\overrightarrow{c}$，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$；
③給定單位向量$\overrightarrow$和正數(shù)μ，總存在單位向量$\overrightarrow{c}$和實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$；
④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量$\overrightarrow$和單位向量$\overrightarrow{c}$，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$．
上述命題中的向量$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法的三角形法則，可判斷①；根據(jù)平面向量的基本定理可判斷②③，舉出反例λ=μ=1，|$\overrightarrow{a}$|＞2，可判斷④．

解答 解：∵向量$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，
①給定向量$\overrightarrow$，總存在向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，使$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$，故①正確；
②由向量$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，故給定向量$\overrightarrow$和$\overrightarrow{c}$，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$$\overrightarrow{c}$，故②正確；
③給定單位向量$\overrightarrow$和正數(shù)μ，不一定存在單位向量$\overrightarrow{c}$和實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$，故③錯(cuò)誤；
④當(dāng)λ=μ=1，|$\overrightarrow{a}$|＞2時(shí)，不總存在單位向量$\overrightarrow$和單位向量$\overrightarrow{c}$，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$，故④錯(cuò)誤．
故真命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．